Matematické Fórum

Kentán · 29. 05. 2012 22:54

Ahoj,
mohl by mi někdo pomoci,jak zjistit Taylorův polynom fce. y= $(cos(x))\wedge x$ ?Zkoušel jsem to všemi způsoby,ale nevím,jak se dostat k výsledku $1-(x^{3})/2-(x^{5})/12+(x^{6})/8+o(x^{7})$ .
Díky

skoroakvarista · 29. 05. 2012 23:10

↑ Kentán:
Zdravím, co myslíte tím zápisem y= $(cos(x))\wedge x$ ? Nerozumím významu $\wedge$ .

chipák · 29. 05. 2012 23:20

Asi to má být $\cos^x{x}$

user · 29. 05. 2012 23:29 — Editoval user (29. 05. 2012 23:34)

Pokud by tomu tak bylo, použil bych identity
$\cos ^{x}(x)=e^{x\ln (\cos x)}$

Potom rozvoje jednotlivých známých funkcí cos(y), ln(1+y), e^y.

Ještě pro úplnost je potřeba uvádět v jakém bodě děláme rozvoj, toto bude rozvoj v bodě 0.

Kentán · 29. 05. 2012 23:36

Ano,oba vaše názory jsou správné!

Kentán · 30. 05. 2012 01:18

Mohl by mi to někdo prosím rozepsat podrobněji?Stále mi to nevychází!Díky

Tomas.P

↑ Kentán:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 9%2C+x%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 7%2C+x%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 7%2C+x%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 7%2C+x%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 7%2C+x%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 7%2C+x%3D0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 … 7%2C+x%3D0
$T_n(x)=1+0(x-0)+\frac{1}{2!}{\cdot}0{\cdot}(x-0)^2+\frac{1}{3!}{\cdot}(-3){\cdot}(x-0)^3+\frac{1}{4!}{\cdot}0{\cdot}(x-0)^4+\frac{1}{5!}{\cdot}(-10){\cdot}(x-0)^5+\frac{1}{6!}{\cdot}90{\cdot}(x-0)^6$ , $T_n(x)=1-\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{12}+\frac{x^6}{8}$

user · 30. 05. 2012 17:06 — Editoval user (30. 05. 2012 17:18)

↑ Tomas.P:
Tento postup je samozřejmě možný, ale už 3. derivace vypadá hrůzně a ještě kdybych to měl dělat na papíře.
lepší napsat si:
$\cos x=1-\frac{1}{2}x^2+...+o(x^n)$
Potom
$\ln (1+y)=y-\frac{y^2}{2}+..+o(y^n)$
a za y dosadíš z rozvoje cosinu
$y=-\frac{1}{2}x^2+...+o(x^n)$

Toto vynásobíš x, které je před logaritmem, výsledek označím T*(x)
a nyní rozvíjíš
$e^z=1+z+...+o(z^n)$
Za z dosadíš T*(x).
To do kterého řádu budeš dělat rozvoje záleží na tom kolikátý T. polynom potřebuješ ve výsledku.

Snažil jsem se to napsat stručně, tak snad je to pochopitelné.

Tomas.P · 30. 05. 2012 17:34

↑ user:
Zdravím, jak je to s tím dosazením za y z rozvoje cosinu? Předem děkuji za odpověď

user · 30. 05. 2012 17:51 — Editoval user (30. 05. 2012 17:59)

Myslel jsem to takhle
$\ln (\cos (x))=\ln (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))$

Nyní je potřeba ověřit, zda jsem pořád v okolí bodu 0
$\lim_{x\to0}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)=0$
takže mohu psát
$\ln (\cos (x))=\ln (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))=(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))-\frac{(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))^2}{2}+o((-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))^2)$
Výraz sice také není příjemný, ale stačí si uvědomit, že bude stačit brát členy rozvoje nižšího řádu než kterého dělám rozvoj a vyšší mohu zahrnovat do zbytku.

Tomas.P · 30. 05. 2012 19:04

↑ user:
Zdravím, pořád mi není jasné, kde v zápisu: $y=-\frac{1}{2}x^2+...+o(x^n)$ zmizela $1$ ? Předem děkuji za odpověď

user · 30. 05. 2012 19:55

A tenhle krok jasný je?

$\ln (1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))=(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))-\frac{(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))^2}{2}+o((-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))^2)$

Tomas.P · 30. 05. 2012 21:29

↑ user:
Zčásti. Nemělo by tam být $o((-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5))^{\textbf{n}})$ ?

user · 30. 05. 2012 21:42

No jak jsem psal, záleží jakého řádu je rozvoj. Tímhletím symbolem o(x), si nejsem úplně jistý, jestli ho používám správně. Vždycky jsem byl zvyklý pracovat s Peanovým tvarem zbytku.

Ale v tomhle případě jsem zvolil stupeň rozvoje, takže si myslím, že by to tak mělo být správně.
Udělal jsem konkrétní stupeň rozvoje, takže by tam měl být stupeň mocniny, takový, kolikátého řádu dělám Taylorův polynom.

Tomas.P · 30. 05. 2012 21:55

↑ user:
Bohužel mi pořád není jasné: a za y dosadíš z rozvoje cosinu? Proč se tam nedosazuje celý rozvoj cosinu, ale pouze: $-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}+o(x^5)$ ?

user · 31. 05. 2012 01:01

No protože umím rozvíjet funkci ln(1+y) se středem v bodě nula. A rozvoj cosinu je náhodou zrovna ve tvaru
cos(x)=1+y.

Tomas.P

↑ user:
Můžeš tady prosím napsat postup/úpravy od T*(x) včetně? Vím, že to bude: $ln(-1+cos(x))*(x)$ , ale úpravy mi nejsou jasné. Předem děkuji

user · 01. 06. 2012 00:56 — Editoval user (01. 06. 2012 00:59)

Snížím rozvoj pouze do nižších členů, v logaritmu si žádný jedničky nevymýšlím, jen tam píšu funkci cosinus zapsanou pomocí rozvoje do Taylora, žádné mezikroky nevynechávám.

$x\ln( \cos x)=x\ln (1-\frac{x^2}{2}+o(x^2))=x((-\frac{x^2}{2}+o(x^2))+o(-\frac{x^2}{2}+o(x^2))=-\frac{x^3}{2}+xo(x^2)+xo(-\frac{x^2}{2}+o(x^2))$

Pro zkrácení zápisu jsem použil rozvoj pouze prvního řádu. Víc už to asi vysvětlit neumím. Prostě tato rovnost platí $\ln (1+P(x))=P(x)-\frac{(P(x))^2}{2}+\ldots +o(P(x)^n)$ z definice rozvoje funkce ln(1+y) a cosinus je zrovna ve tvaru cos(x)=1+P(x).
Ještě aby ta rovnost platila je potřeba ověřit podmínky za kterých se dělá Taylor, tedy co musí P(x) splňovat, ale to není předmětem tohoto tématu.

Například sin(x) tvaru 1+P(x) není a proto by tento postup nešel použít.

Tomas.P · 01. 06. 2012 07:17

↑ user:
Takže platí: $1+z+o(z^1)=1+(-\frac{x^3}{2}+xo(x^2)+xo(-\frac{x^2}{2}+o(x^2)))+o(-\frac{x^3}{2}+xo(x^2)+xo(-\frac{x^2}{2}+o(x^2)))$ a další úpravy už nemusím dělat?

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2012 22:54

Taylor

#2 29. 05. 2012 23:10

Re: Taylor

#3 29. 05. 2012 23:20

Re: Taylor

#4 29. 05. 2012 23:29 — Editoval user (29. 05. 2012 23:34)

Re: Taylor

#5 29. 05. 2012 23:36

Re: Taylor

#6 30. 05. 2012 01:18

Re: Taylor

#7 30. 05. 2012 16:41 — Editoval Tomas.P (30. 05. 2012 16:42)

Re: Taylor

#8 30. 05. 2012 17:06 — Editoval user (30. 05. 2012 17:18)

Re: Taylor

#9 30. 05. 2012 17:34

Re: Taylor

#10 30. 05. 2012 17:51 — Editoval user (30. 05. 2012 17:59)

Re: Taylor

#11 30. 05. 2012 19:04

Re: Taylor

#12 30. 05. 2012 19:55

Re: Taylor

#13 30. 05. 2012 21:29

Re: Taylor

#14 30. 05. 2012 21:42

Re: Taylor

#15 30. 05. 2012 21:55

Re: Taylor

#16 31. 05. 2012 01:01

Re: Taylor

#17 31. 05. 2012 11:46 — Editoval Tomas.P (31. 05. 2012 17:55)

Re: Taylor

#18 01. 06. 2012 00:56 — Editoval user (01. 06. 2012 00:59)

Re: Taylor

#19 01. 06. 2012 07:17

Re: Taylor

Zápatí