Matematické Fórum

Ahoj,

hned na úvod předešlu, že moje znalosti tenzorového počtu jsou chatrné, takže bych nejspíš měl řešit jednodušší problémy, ale tohle mě prostě zaujalo:
Když mám tenzor druhého řádu ve třírozměrném prostotu (tj. lineární zobrazení ), můžu ho reprezentovat pomocí matice 3x3 v různých bázích. Pro spektrální rozklad se používá reprezentace , kde , i=1,2,3 je nějaká báze vektorového prostoru a je báze k ní duální. Sumace se provádí přes indexy, které jsou jednou jako dolní a jednou jako horní. V tuhle chvíli máme matici a vlastní čísla a vlastní vektory snadno spočítáme známým postupem z lineární algebry. Co když ale mám tenzor vyššího řádu? Jedniné, co jsme si definovali, bylo:

Já ale ani pořádně nevím, jak tenzor čtvrtého řádu reprezentovat pomocí matice. Obecně má (ve 3D) 3^4=81 složek, takže bychom ho mohli napsat jako matici 9x9. Nikde jsem to ale neviděl, musela by taky existovat nějaká konvence, kam do té matice které složky psát, že? A fungoval by pořád ještě ten postup s odčítáním lambdy na diagonále a položením determinantu = 0? A všechny následující reprezentace by měly ty matice 9x9 rozdílné, že? Kterou z nich tedy použít...? :)