Matematické Fórum

Sulfan · 31. 05. 2012 14:32 — Editoval Sulfan (31. 05. 2012 14:32)

Zdravím,
počítám následující integrál:

$\int_{-\infty}^{\infty }\frac{2xdx}{x^2+1}=\int_{-\infty}^{0}\frac{2xdx}{x^2+1}+\int_{0}^{\infty}\frac{2xdx}{x^2+1}=$

volím substituci $u=x^2+1$ , převedu oba integrály na:

$\int_{\infty}^{1}\frac{du}{u}+\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}=-\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}+\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}=-\infty+\infty$

A dostanu se k neurčitému výrazu, tj. nemůžu rozhodnout, zda integrál konverguje. Jak to zjistit?

Děkuji za odpověď.

Rumburak

Ahoj.

Existuje mnoho definic integrálu. Podle které jedeš ?
Základní definice integrálu (Newtonova, Riemannova, Lebesgueova) zde selhávají - tento integrál neexistuje podle žádné z nich.

Ale šlo by ho počítat "ve smyslu hlavní hodnoty (valeur principal)":

$\text{v.p.} \int_{-\infty}^{\infty }\frac{2xdx}{x^2+1} = \lim_{\delta \to 0+}\left( \int_{-\infty}^{-\delta}\frac{2xdx}{x^2+1} + \int_{\delta}^{\infty }\frac{2xdx}{x^2+1} \right) = 0$ .

EDIT. TOTO JE BOHUŽEL ŠPATNĚ, viz ↑ Rumburak:.

Cynyc · 31. 05. 2012 15:02

↑ Sulfan: Předpokládám, že jde o integrál Newtonův, protože u absolutně konvergentních integrálů (Riemannův, Lebesgueův) je to zřejmé. Newtonův integrál fce f na intervalu (a,b) je definován rovností $\int_a^b f=\lim_{x\to a-} F-\lim_{x\to b+} F$ , kde F je primitivní fce k f na (a,b). V tomto případě tedy $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2x}{x^2+1}\mathrm{d}x=\lim_{x\to \infty} \ln(x^2+1)-\lim_{x\to -\infty} \ln(x^2+1)=\infty-\infty$ , což nemá smysl, integrál tedy neexistuje. Pro Newtonův integrál také vždy platí $\int_a^b f=\int_a^c f + \int_c^b f$ , je-li $a\leq c\leq b$ . Z Vašeho výpočtu tedy rovnou plyne, že integrál neexistuje, protože výraz vpravo nemá smysl.

Sulfan · 31. 05. 2012 15:09

Jde o zobecněný Riemannův integrál, ale proč by dle definice nemohl existovat? Jde o rozdíl divergentních integrálů, tudíž jsem myslel, že nelze určit, zda je konvergentní nebo ne.

Rumburak · 31. 05. 2012 15:16

↑ Sulfan:
A můžeš sem napsat (nebo dát odkaz na) definici "zobecněného Riemannova integrálu" , kterou používáš?
Já jsem se setkal s několika definicemi integrálu, ale s definicí tohoto názvu ještě ne . :-(

Sulfan · 31. 05. 2012 15:26

↑ Rumburak: Aha, jasně:

Rumburak

↑ Sulfan:
Díky. Ale Tvůj postup zde ↑ Sulfan: neodpovídá této ↑ Sulfan: definici; postupoval jsi v podstatě
podle jiné definice ZRI zde (asi v polovině celého textu), která však selhala, protože nebyly splněny
její předpoklady o konečnosti jednotlivých dílčích nevlastních integrálů, které spolu sčítáme.

Mrfiluta · 31. 05. 2012 15:39

Pro ten tvůj zobecněný integrál platí: $\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^{\alpha}}$ konverguje pro $\alpha >1$ a diverguje pro $\alpha \le 1$ .

Aspoň teda myslím :D

Sulfan · 31. 05. 2012 15:42

↑ Rumburak: Takže by v tomto případě neplatilo, že:

$\forall x \in (0;+\infty): \int_{1}^{x}\frac{du}{u} \in \mathbb{R}$ ?

Sulfan · 31. 05. 2012 15:46

↑ Mrfiluta: Ano, to je pravda, jak jsem psal, jde o rozdíl divergentních integrálů (pokud by šlo o součet divergentních integrálů, kde by byl každý roven $\text{''} \infty \text{''}$ , tak by se mohlo prohlásit rovnou, že není konvergentní)

Rumburak

↑ Sulfan:

Výrok $\forall x \in (0;+\infty): \int_{1}^{x}\frac{du}{u} \in \mathbb{R}$ jsem nikdy nezpochybňoval. Jestliže $x \in (0;+\infty)$ ,
pak jde vžy o KONEČNÉ číslo , ať již x = 10 nebo x = 10 000 000 000 , a $\int_{1}^{x}\frac{du}{u}$ má KONEČNOU hodnotu $\ln x$ ,
například ln 10 nebo ln (10 000 000 000) . Něco jiného je

$\int_{1}^{+\infty}\frac{du}{u} = \lim_{x \to +\infty}\int_{1}^{x}\frac{du}{u} = \lim_{x \to +\infty}\ln x = +\infty$ .

Snad byl problém zde (?) , zacházet s pojmem limity příliš volně se nevyplácí :-) .

Sulfan · 31. 05. 2012 16:35 — Editoval Sulfan (31. 05. 2012 16:36)

↑ Rumburak: Děkuji, asi až teď jsem tu definici správně pochopil, nicméně, mělo by platit:

$\int_{\infty}^{1}\frac{du}{u}+\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}=-\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}+\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}=-\lim_{x \to +\infty}\int_{1}^{x}\frac{du}{u}+\lim_{x \to +\infty}\int_{1}^{x}\frac{du}{u}=$
$-\lim_{x \to +\infty}\ln(x)+\lim_{x \to +\infty}\ln(x)= ...$

asi stále nevím, jak pokračovat.

Rumburak · 31. 05. 2012 16:52

↑ Sulfan:

Ano, postup je správný, vede ovšem k výsledku

$-\lim_{x \to +\infty}\ln(x)+\lim_{x \to +\infty}\ln(x)= -\infty + \infty$ ,

což je výraz, který není definován. Z tohoto faktu vyplývá závěr, že součet

$\int_{\infty}^{1}\frac{du}{u}+\int_{1}^{\infty}\frac{du}{u}$ ,

který stojí na začátku tohoto jinak správného postupu, není korektní.

Sulfan · 31. 05. 2012 17:02 — Editoval Sulfan (31. 05. 2012 17:03)

↑ Rumburak: Aha a to, že součet není korektní znamená, že bych měl zkusit počítat jinou metodou? Tj. že tato o výsledku nic nevypoví?

Edit: aha bylo asi myšleno, že postup není korektní, špatně jsem to pochopil :)

Rumburak · 31. 05. 2012 17:14

↑ Sulfan:

Sulfan napsal(a):
↑ Rumburak: Aha a to, že součet není korektní znamená, že bych měl zkusit počítat jinou metodou? Tj. že tato o výsledku nic nevypoví?

Teď jsi trefil do černého :-), i tak se to dá říci.

Sulfan napsal(a):
Edit: aha bylo asi myšleno, že postup není korektní, špatně jsem to pochopil :)

Ne-e, bylo to myšleno tak, jak jsem to napsal:
Ppostup onoho výpočtu byl sám o sobě správný, ale byl prováděn "s nevhodným vstupním materiálem", což se nakonec ukázalo.
Na podobném principu jsou založeny tzv. důkazy sporem.

Sulfan · 31. 05. 2012 17:23

↑ Rumburak: Aha, a kdybych měl použít nějakou jinou metodu, jaká by to mohla být? Nějak mi selhává intuitivní představa, že když je funkce lichá, tak by se měl ten obsah plochy pod (resp. nad) křivkou v záporné části grafu "vyrušit" s obsahem plochy pod tou kladnou částí ... .

Rumburak · 01. 06. 2012 16:17

↑ Sulfan:

Této filosofii právě odpovídá integrační metoda "v.p." popsaná v ↑ Rumburak: .

Její nevýhodou však je , že nemá jednu ze základních vlastností, kterou běžné definice integrálu poskytují, a sice vlastnost

(1) $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ ,

pokud je a < b < c a má smysl levá strana strana rovnosti (1) .

Sulfan · 01. 06. 2012 16:53

↑ Rumburak: Aha, a pokud jsem to správně pochopil, tak podle takové definice integrační metody v.p. je integrál konvergentní a jeho hodnota je 0?

Rumburak · 02. 06. 2012 11:31

↑ Sulfan:
Ano :-) .

Sulfan · 02. 06. 2012 13:13

↑ Rumburak: Tak už vše jasné, děkuji a označuji za vyřešené :).

Rumburak

↑ Sulfan:

Ahoj.

Teď vidím, že to, co jsem napsal v ↑ Rumburak: , je pěkná pitomost, metoda v. p. je použita špatně a nehodí se sem.

Správný příklad na v.p. :

$\text{v.p.} \int_{-\infty}^{\infty }\frac{dx}{x^3} = \lim_{\delta \to 0+}\left( \int_{-\infty}^{-\delta}\frac{dx}{x^3} + \int_{\delta}^{\infty }\frac{dx}{x^3} \right) = \lim_{\delta \to 0+}\left( \left[\frac{-1}{2x^2}\right]_{-\infty}^{-\delta} + \left[\frac{-1}{2x^2}\right]_{\delta}^{\infty} \right) = \lim_{\delta \to 0+}\left( \frac{-1}{2\delta^2} - \frac{-1}{2\delta^2} \right) = 0$

Ve Tvém případě by fungovala metoda (nevím, jak ji nazvat a zda je vůbec někde popsána)

$(\text{X}) \int_{-\infty}^{\infty }\frac{2xdx}{x^2+1} = \lim_{K \to +\infty} \int_{-K}^K\frac{2xdx}{x^2+1}= 0$ .

Takovéto náhradní integrační metody ale nelze považovat za standard. Připojuji omlouvu za předchozí zbrklost.

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2012 14:32 — Editoval Sulfan (31. 05. 2012 14:32)

Zobecněný integrál

#2 31. 05. 2012 14:53 — Editoval Rumburak (04. 06. 2012 10:08)

Re: Zobecněný integrál

#3 31. 05. 2012 15:02

Re: Zobecněný integrál

#4 31. 05. 2012 15:09

Re: Zobecněný integrál

#5 31. 05. 2012 15:16

Re: Zobecněný integrál

#6 31. 05. 2012 15:26

Re: Zobecněný integrál

#7 31. 05. 2012 15:34 — Editoval Rumburak (31. 05. 2012 15:39)

Re: Zobecněný integrál

#8 31. 05. 2012 15:39

Re: Zobecněný integrál

#9 31. 05. 2012 15:42

Re: Zobecněný integrál

#10 31. 05. 2012 15:46

Re: Zobecněný integrál

#11 31. 05. 2012 16:15 — Editoval Rumburak (31. 05. 2012 16:17)

Re: Zobecněný integrál

#12 31. 05. 2012 16:35 — Editoval Sulfan (31. 05. 2012 16:36)

Re: Zobecněný integrál

#13 31. 05. 2012 16:52

Re: Zobecněný integrál

#14 31. 05. 2012 17:02 — Editoval Sulfan (31. 05. 2012 17:03)

Re: Zobecněný integrál

#15 31. 05. 2012 17:14

Re: Zobecněný integrál

Sulfan napsal(a):

Sulfan napsal(a):

#16 31. 05. 2012 17:23

Re: Zobecněný integrál

#17 01. 06. 2012 16:17

Re: Zobecněný integrál

#18 01. 06. 2012 16:53

Re: Zobecněný integrál

#19 02. 06. 2012 11:31

Re: Zobecněný integrál

#20 02. 06. 2012 13:13

Re: Zobecněný integrál

#21 04. 06. 2012 10:05 — Editoval Rumburak (04. 06. 2012 10:07)

Re: Zobecněný integrál

Zápatí