Matematické Fórum

Ulquiorra · 02. 06. 2012 11:30

Zdravím, chtěl bych poprosit, jestli by někdo vyřešil tento příklad a nejlépe i s nějakým krátkým postupem, či vysvětlením, abych to pochopil.
Př: Pomocí polárních souřadnic vypočítejte integrál $\int_{}^{}\int_{}^{}_{M}(x^{2}+y^{2}) dx dy,$ , kde M je půlkruh určený nerovnicemi $x^{2}+y^{2}\le 9, y\le 0$ .

Tomas.P

↑ Ulquiorra:
$x={\varrho}{\cdot}cos{\varphi}$ , $y={\varrho}{\cdot}sin{\varphi}$ ,
$S(M)={\int_{M}}{\int}({x^2+y^2})dx{\cdot}dy={\int_{M}}{\int}({{\varrho^2}{\cdot}{cos{\varphi}^2}+{\varrho^2}{\cdot}{sin{\varphi}^2}}){\cdot}{\varrho}{\cdot}d{\varrho}{\cdot}d{\varphi}={\int_{M}}{\int}{{\varrho^2}{\cdot}({cos{\varphi}^2}+{sin{\varphi}^2})}{\cdot}{\varrho}{\cdot}d{\varrho}{\cdot}d{\varphi}$ ${\int_{M}}{\int}{{\varrho^2}{\cdot}1}{\cdot}{\varrho}{\cdot}d{\varrho}{\cdot}d{\varphi}={\int_{M}}{\int}{\varrho^3}{\cdot}d{\varrho}{\cdot}d{\varphi}=\int_{0}^{\pi}$\int_{0}^{3}{\varrho^3}{\cdot}d{\varrho}$d{\varphi}=20.25{\cdot}{\pi}$