Matematické Fórum

Aquabellla · 02. 06. 2012 20:52

Zdravím všechny.

Určete rovnici křivky, jejíž normála v libovolném bodě křivky má následující vlastnosti: Délka úsečky na ose x mezi počátkem a průsečíkem normály s osou x je rovna kvadrátu y-ové souřadnice bodu, v němž byla normála sestrojena.

Vůbec mě nenapadá, jak by se toto dala vyřešit. Za každou radu budu vděčná :-)

OiBobik

↑ Aquabellla:

Ahoj,

to je jenom zašifrované zadání nějaké diferenciálky, ne? ; ))

(Pozn: Stojí za to si rozmyslet, že opravdu ze zadání vyplývá, že můžeme křivku, řešící danou úlohu, vždy považovat za graf nějaké diferencovatelné fce závislé na x.)

Bati · 02. 06. 2012 21:18

Ahoj,
pokud budeme uvažovat, že hledaná křivka bude mít derivaci ve všech bodech, tak můžeme jednoduše napsat rovnici tečny v každém bodě pomocí derivace dané funkce. Stejně tak normálu - stačí vzít přímku procházející stejným bodem, se směrnicí -1/sm. tečny. Pak by neměl být problém najít průsečík p normály s osou x a sestavit příslušnou diferenciální rovnici z podmínky, že p=y^2. Zvlášť je třeba vyšetřit případ, kde je derivace v některých bodech nulová.

Aquabellla · 03. 06. 2012 12:25

↑ OiBobik: ↑ Bati:

Rovnice normály:
$y - y(x_0) = -\frac{1}{y'(x_0)} \cdot (x - x_0)$ , kde $[x_0,y_0]$ je bod průniku normály s křivkou

Průsečík s osou x:
$0 - y(x_0) = -\frac{1}{y'(x_0)} \cdot (x - x_0)$
$y(x_0) \cdot y'(x_0) = (x - x_0)$
$x = y(x_0) \cdot y'(x_0) + x_0$
Beru x kladné, potom: $(y(x_0))^2 = y(x_0) \cdot y'(x_0) + x_0$

$y'(x_0) = y(x_0) - \frac{x_0}{y(x_0)}$

Je to tak správně?