Matematické Fórum

philber · 02. 06. 2012 20:58

Ahoj ve furierove řadě mám na konci vyčíslit řadu $\sum_{k=1}^{\infty} {(-1)^{k}/{(4k^2-1)}} = ?$ ale nevím jak na to jestli byste mi nekdo neporadil, ucitel na to vzdycky koukne a rekne 1/2 a pak sem s toho tumpachovej, ale ja opravdu nevim už sem hledal kde se dalo, ale nejak sem nic nenasel ani v skriptech
dekuju moc za rady

OiBobik

↑ philber:

Ahoj,

je otázka, co se po tobě vyžaduje za řešení.

K vyčíslení lze dojít i bez Fourierových řad: Jestli znáš rozvoj fce $\arctan x$ do mocninné řady a obor konvergence, lze k výsledku dojít úpravou sumy: jde o to, rozložit $\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ na parciální zlomky, dosadit a vhodně "uzávorkovat" sčítance řady (o které víme, že je konvergentní, takže si to závorkování můžeme dovolit).

Pokud se to po tobě chce Fourierovými řadami:
Jde o to si všimnout, jak je možno zadanou sumu interpretovat jako součet vhodné Fourierovy řady ve vhodném bodě. Zkus si nějak pohrát s Fourierovou řadou funkce
$f(x)=-\frac{\pi}{4}|\sin x |$
(na tu jsem přišel metodou pokus-omyl, nic lepšího mě nenapadlo)
v bodě $x=\frac{\pi}{2}$ .

(Pozn: Bude se hodit Diniho nebo Jordan Dirichletovo kritérium na důkaz toho, že součet Fourierovy řady fce f konverguje k funkční hodnotě funkce f v bodě $\frac{\pi}{2}$ )
(Pozn2: Nevím, cos myslel tím "učitel řekl, že je to 1/2" - zde to 1/2 nevychází, vycházelo by to tak, kdyby v čitateli onoho zlomku nebylo "(-1)^k", ale jen 1 - pak je celý příklad jednodušší a je nejlepší jej řešit rozkladem na parciální zlomky.)

Matematické Fórum

#1 02. 06. 2012 20:58

součet řady

#2 02. 06. 2012 22:41 — Editoval OiBobik (02. 06. 2012 22:58)

Re: součet řady

Zápatí