Matematické Fórum

koudis · 03. 06. 2012 19:40

Ahoojte,
předtavte si že máte zjištěné vlastní čísla matice A (matice lin. zobr. F: V --> V). Musí být zobrazení dané maticí (A - s*id) vzhledem k prostoru V nilpotentní? Já si myslím že ne. když ho zúžíme na kořenový prostor $V_{\lambda_i}$ je to jasne( $F_\lambda_i$ zúžené na ${V_{\lambda _i}}$ je nilpotentní).
Jelikož ${V_{\lambda _i}}$ je invariantní a platí $ImF^k_{\lambda _i} \oplus KerF^k_{\lambda _i} = V$ . Budou-li existovat aspon dvě různá vlastní čísla pro A. Pak nutně nemůže být $ImF^k_{\lambda}$ nulové, dokonce nebude nulové ani pro exponenty větší jako k. Tedy Flambda není nilpotentní vzhledem k V existujou-li aspoň dvě různá vlastní čísla matice lineárního zobrazení F.
?????????
co vy na to ?

Andrejka3

Ano, máš to správně.

Budou-li existovat aspon dvě různá vlastní čísla pro F, existují také příslušné vlastní vektory.
$F^k_{\lambda_1}(v_2)=F^{k-1}_{\lambda_1}\left( (\lambda_2 -\lambda_1)\cdot v_2 \right)=(\lambda_2 -\lambda_1)^k \cdot v_2 \neq 0$ .

jednoduchý příklad: Mějme $V= \langle v_1,v_2 \rangle$ a zobrazení $F:V \rightarrow V$ :
$v_1 \mapsto 0$
$v_2 \mapsto v_2$
$F_0=F$ není nilpotentní na $V$ . $\mathrm{Im}\; F_0^k= \mathrm{Im} \; F_0 = \langle v_2 \rangle$ .

koudis · 04. 06. 2012 15:40

Dik moc

Matematické Fórum

#1 03. 06. 2012 19:40

Nilpotentní matice

#2 04. 06. 2012 15:23 — Editoval Andrejka3 (04. 06. 2012 15:24)

Re: Nilpotentní matice

#3 04. 06. 2012 15:40

Re: Nilpotentní matice

Zápatí