Matematické Fórum

Fredy.00 · 03. 06. 2012 20:39

Ahoj, řeším tento problém.

Mám v trojúhelníku zadaném body

A[3;2] B[-5;-1] C[7;-4]

vypočítat výšku.

Těžnice umím, tam se použije vzorec pro střed strany. Ale jak na výšky?

Díky.

marnes · 03. 06. 2012 20:43

řekni si nahlas definici výšky a pak by to mělo jít

Fredy.00 · 03. 06. 2012 20:48

↑ marnes:

výška je kolmá k bodu, který je protilehlý ke straně

marnes · 03. 06. 2012 20:50

↑ Fredy.00:
No vidíš. Ze zadaní si nejsem úplněnjjist co chceš, tak

1) pokud rovnici výšky, tak je to přímka kolmá k dané straně procházející vrcholem, který je proti této straně
2) pokud velikost výšky, tak je to vzdálenost vrcholu od protilehlé strany

Fredy.00 · 03. 06. 2012 20:51

↑ marnes:

jojo, jde o rovnici, délka by byla extrémě snadná...
ale jak parametricky pracovat s kolmostí?

marnes · 03. 06. 2012 21:00

↑ Fredy.00:

jestli umíš určit vektor směrový strany, na kterou máš vést kolmou, tak je to snad jednoduché ne?

Ke směrovému vektoru se vytvoří vektor kolmý záměnou souřadnic x za y a u jedné změní znaménko

Cheop · 04. 06. 2012 09:04

↑ Fredy.00:
Toto by ti mělo vyjít:

Fredy.00 · 04. 06. 2012 15:48

↑ Cheop:

Promiň, ale toto je mi jasné asi jako rozpité čínské noviny.

Hele, dej mi radjě nějaký pevný postup - já lépe chápu tím, že mám postup, a analyzuji jak k němu daný došel, než tím, že mám něco vyčíst.

marnes · 04. 06. 2012 17:35

↑ Fredy.00:

1) napiš zadání výšky kterou chceš vypočítat
2) napiš směrový vektor příslušné strany, na kterou určuješ výšku, ať můžeme průběžně kontrolovat

Cheop · 04. 06. 2012 18:55 — Editoval Cheop (05. 06. 2012 07:10)

↑ Fredy.00:
Napíšeme tedy parametrickou rovnici výšky v_c
Tato výška je kolmá ke straně AB a prochází vrcholem C
Směrový vektor AB je: $\vec{s}=(3-(-5);\,2-(-1)=(8;\,3)$
Kolmý vektor k tomuto vektoru bude směrovým vektorem hledané výšky.
Ten kolmý vektor uděláš tak, že prohodíš souřadnice vektoru a u jedné z nich změníš znaménko tj.
Směrový vektor výšky bude:
$\vec{s_{vc}}=(3;\,-8)$ popřípadě $(-3;\,8)$
Tato výška prochází bodem C který má souřadnice $C=(7;\,-4)$
Parametrické vyjádření výšky je:
$x=C_x+\vec{s_{vc}}xt\\y=C_y+\vec{s_{vc}}yt$ tj:
$x=7+3t\\y=-4-8t$
nebo:
$x=7-3t\\y=-4+8t$
Obdobně můžeš určit rovnice i zbylých 2 výšek

Fredy.00 · 05. 06. 2012 17:54

↑ Cheop:

já se překouk, ono to mělo být směrnicová rovnice...

tak jsem ji zkusil vypočítat:

kolmý vektor = (-3;8)

-3x + 8y + c = 0
8y = +3x +q
8 * (-4) = 3 * 7 + q
-32 = 21 + q
- q = 21 + 32
q = - 53

8y = 3x -53

Ale vyjít mělo y=4x-10
Kde je chyba?

marnes · 05. 06. 2012 18:36

↑ Fredy.00:
Směrnicová rovnice výšky na kterou stranu? má rovnici y=4x-10. Udělej si v tom pořádek

Cheop · 06. 06. 2012 06:57 — Editoval Cheop (06. 06. 2012 07:50)

↑ Fredy.00:
Fredy chyba je v tom, že ty počítáš výšku v_c, ale výsledek uvádíš pro výšku v_a
Jinak i to Tvoje je špatně.
Směrový vektor strany AB (strana c) je (8; 3)
Tento směrový vektor je současně normálovým vektorem hledané výšky v_c (výška je kolmá na stranu AB)
Rovnice výšky bude:
$v_c:\,8x+3y+c=0$ tato výška prochází bodem C=(7; -4) - dosazením souřadnic tohoto bodu dopočteme c tj:
$8x+3y+c=0\\8\cdot 7+3\cdot (-4)+c=0\\56-12+c=0\\c=-44$
Rovnice je:
$8x+3y-44=0$
Na směrnicový tvar to převedeme tak, že z této rovnice vyjádříme y tj:
$8x+3y-44=0\\3y=-8x+44\\y=-\frac 83\,x+\frac{44}{3}$

PS: Výška v_a:
Máme parametrické vyjádření této výšky:
$x=3+t\\y=2+4t$
Z této rovnice vidíme, že:
1) směrový vektor výšky je (1; 4) (jsou to ty koeficienty u t)
2) Výška prochází bodem A=(3; 2)
Normálový vektor hledané výšky bude (4; -1) (prohodil jsem souřadnice a u jedné změnil znaménko)
Rovnice tedy bude:
$4x-y+c=0$ dopočteme c
$4\cdot 3-1\cdot 2+c=0\\c=-10$
Rovnice: (obecná rovnice přímky)
$4x-y-10=0$
Převod na směrnicový tvar:
$4x-y-10=0\\y=4x-10$
Doufám, že jsem ti to alespoň trochu ujasnil

Koukni třeba Sem

Fredy.00 · 06. 06. 2012 16:40

↑ Cheop:

"Tento směrový vektor je současně normálovým vektorem hledané výšky"

jak může směrový být bez úpravy zároven i normálovým?

dominiksuroviak

↑ Fredy.00:
Strana c má smerový vektor u. Priamka výšky na stranu c je kolmá na priamku strany c. Normálový vektor je ten ktorý je kolmý na danú priamku (u teba výška na stranu c). Pokiaľ si chceš vyjadriť priamku výšky všeobecnou rovnicou potrebuješ normálový vektor. Keďže priamka strany c má smerový vektor, ktorý je kolmý na priamku výšky na stranu c, tak bude normálovým vektorom všeobecnej rovnice priamky výšky na stranu c. Potom pomocou sústavy rovníc vypočítaš priesečník týchto dvoch priamok a pomocou Pytagorovej vety zistíš veľkosť výšky. Môžeš to riešiť aj jednoduchším spôsobom. Určíš si všeobecnú rovnicu priamky strany na ktorú chceš určiť výšku. Dosadíš do vzorca: $v=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ , pričom x,y sú súradnice
bodu z ktorého je vedená výška, a,b sú súradnice normálového vektora priamky strany.
Napríklad:
Výšku na stranu c vypočítaš"
Najskôr si určíš všeobecnú rovnicu priamky AB.
Smerový vektor: $\vec{u}=\vec{AB}=[-8;-3]$
Normálový vektor: $\vec{n}[-3;8]$
Všeobecná rovnica: $-3x+8y+c=0$
$-3*3+8*2+c=0$
$c=-7$
$-3x+8y-7=0$
Dosadenie do vzorca: $C[7;-4]$
$v=\frac{|-3*7+8*-4-7|}{\sqrt{(-3)^{2}+8^{2}}}=\frac{60}{\sqrt{73}}=7,022 cm$