Matematické Fórum

mb305 · 06. 06. 2012 14:58

Zdravím,
měl bych další dotaz na lin. algebru. Bohužel se s důkazy setkávám pořádně poprvé, tak omluvte moji možnou neprofesionalitu a spíše logické řešení :)

"Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený."
-------
Má úvaha:

- Mějme základní polynom P(x), který můžeme rozložit na součin polynomu Q(x) a kořenového činitele (x - (a-bi)), kde konstatnta b!= 0. V polynomu Q(x) máme pouze reálné koeficienty. Tedy P(x) = Q(x) * (x - (a-bi))
- Roznásobením polynomů Q(x) a (x - (a-bi)) dostanem polynom, jemž bude konfigurovat imaginární složka, tedy polynom P(x) má koeficienty v množině komplexních čísel
- To samé mohu udělat s kořenovým činitelem (x - (a +bi)), výsledek bude totožný

- Vezmeme v úvahu polynom P(x) a kořenové činitele (x - (a +bi)) a (x - (a -bi))
- Po roznásobení kořenových činitelů se nám imaginární složka odstraní a polynom P(x) bude mít koeficienty pouze v množině reálných čísel
- Proto tedy tvrzení platí

Rumburak · 06. 06. 2012 16:00

↑ mb305:

Zdravím také, nejprve drobné upřesnění: najde o větu z lineární algebry (i když jste ji v LA snad probírali, abyste ji mohli používat v problémech,
které už do LA patří). Nyní k Tvému postupu:

mb305 napsal(a):
- Mějme základní polynom P(x), který můžeme rozložit na součin polynomu Q(x) a kořenového činitele (x - (a-bi)), kde konstatnta b!= 0. V polynomu Q(x) máme pouze reálné koeficienty.

Tvrzení, že v Q(x) jsou pouze reál. koef., není pravdivé. Příklad: Když P(x) bude kvadratický polynom se záporným diskriminantem -
plynom Q(x) pak bude druhým kořenovým činitelem s imaginárním abs. členem.

mb305 napsal(a):
- Roznásobením polynomů Q(x) a (x - (a-bi)) dostanem polynom, jemž bude konfigurovat imaginární složka, tedy polynom P(x) má koeficienty v množině komplexních čísel

Tím vlastně sporem dokazuješ, že Tvá předchozí myšlenka je nesprávná.

mb305 napsal(a):
- To samé mohu udělat s kořenovým činitelem (x - (a +bi)), výsledek bude totožný

Odkud víš, že druhým kořenem je (x - (a +bi)) ? To máš za úkol teprve ukázat.

Dokázal jsi v podstatě obrácenou implikaci: když polynom P(x) má s každým svým imag. kořenem $z$ i kořen $\overline{z}$ , pak má reálné koeficienty.

Zkus využít skutečností, že

$\overline{\sum_{k=0}^n a_kx^k} = \sum_{k=0}^n \overline{a_kx^k}= \sum_{k=0}^n \overline{a_k} (\overline{x})^k$ ,

$\overline{w} = w$ pro $w$ reálné .

mb305 · 07. 06. 2012 16:25

Mohl bys prosím ještě více napovědět? Bohužel mě to zatím netrklo.

jarrro · 07. 06. 2012 17:20

ak sú koeficienty reálne , tak
$\overline{\sum_{k=0}^n a_kx^k} =\sum_{k=0}^n \overline{a_k} (\overline{x})^k=\sum_{k=0}^n a_k (\overline{x})^k$
teda ak $\sum_{k=0}^n a_kx^k =0$ , tak aj
$\overline{\sum_{k=0}^n a_kx^k} =0$
teda aj
$\sum_{k=0}^n a_k (\overline{x})^k=0$

mb305 · 08. 06. 2012 09:38 — Editoval mb305 (08. 06. 2012 09:39)

↑ jarrro:

Díky, pro jistotu tedy:

- Pro R koeficienty:
- Součet všech členů polynomu je roven nule
- Tak i součet všech komplexně sdružených členů polynomu je roven nule (a platí díky tomu, že $\overline{0} = 0$ , že?)
- Tak je roven i součet všech komplexně sdružených kořenů roevn nule

Rumburak

↑ mb305:

Opět opíši a okomentuji Tvé úvahy:

- Pro R koeficienty:
- Součet všech členů polynomu je roven nule

... když za proměnnou (nebo též neurčitou) dosadíme kořen $z$

- Tak i součet všech komplexně sdružených členů polynomu je roven nule (a platí díky tomu, že $\overline{0} = 0$ , že?)

... v návaznosti na předchozí situaci ANO .

- Tak je roven i součet všech komplexně sdružených kořenů roevn nule

... Zde jsi patrně napsal něco jiného, než jsi měl na mysli. Nule je roven ne součet všech komplexně sdružených kořenů, jak píšeš,
ale součet všech členů polynomu (tj. hodnota polynomu) , když za proměnnou dosadíme číslo komplexně sdružené ke kořenu $z$ .

Některé důkazy se dají zformlovat slovně, ale to vyžaduje už určitou praxi. Pokud tuto praxi teprve piluješ, tak doporučuji zásadně používat
matematickou symboliku , kde to jen trochu jde. Matematická symbolika byla vymyšlena právě proto, aby se tvrzení dala formulovat
přesně, což v hovorovém jazyce může být obtížnější.

mb305 · 08. 06. 2012 16:20

↑ Rumburak:
"Zde jsi patrně napsal něco jiného.." - Ano, díky.

Pravda - očividně mi to jde horko těžko. Pokouším se tím prokousat, ale pokusím se dát na Tvoji radu a více zapojovat oficiální symboliku. Díky

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2012 14:58

Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

#2 06. 06. 2012 16:00

Re: Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

mb305 napsal(a):

mb305 napsal(a):

mb305 napsal(a):

#3 07. 06. 2012 16:25

Re: Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

#4 07. 06. 2012 17:20

Re: Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

#5 08. 06. 2012 09:38 — Editoval mb305 (08. 06. 2012 09:39)

Re: Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

#6 08. 06. 2012 10:24 — Editoval Rumburak (08. 06. 2012 10:25)

Re: Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

#7 08. 06. 2012 16:20

Re: Algebra - komplexně sdružené kořeny pro každý polynom s R koeficienty

Zápatí