Matematické Fórum

Nikol · 08. 06. 2012 16:19

Dobrý den,

nějak nemohu vyřešit tento příklad, pomůže mi někdo, prosím?

Počet všech x z intervalu (0, $\pi$ ), pro která platí $\sin \frac{x}{2} = -\sin x$

je roven číslu...

Děkuji moc

Aquabellla · 08. 06. 2012 16:26

↑ Nikol:

$\sin \frac{x}{2} = -\sin x$ převedu na stejnou stranu
$\sin \frac{x}{2} + \sin x = 0$ sinus převedu na tvar podle vzorce pro dvojnásobný úhel
$\sin \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 0$ vytknu sinus
$\sin \frac{x}{2} (1 + 2 \cos \frac{x}{2}) = 0$
Teď už to zvládneš dopočítat?

Nikol · 08. 06. 2012 16:53

Díky, dopočítat jsem to zkoušela, a vyšlo mi jedno řešení, ačkoliv má vyjít 0. Tobě by ta 0 vyšla?

thriller

Ukaž, jak jsi počítala? Domnívám se, že jsi to nespočítala správně, neboť nula je skutečně jediným x, pro něž ta rovnice platí.

Nikol · 08. 06. 2012 17:09 — Editoval Nikol (08. 06. 2012 17:27)

$\cos a=-\frac{1}{2}$ což je v daném intervalu $(0, \pi )$ platné pro jednu hodnotu, a sice $\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$ Z toho plyne po dosazení za "a" $\frac{2\pi }{3}=\frac{x}{2}$ Toto jsem pak vložila pro ověření do levé i pravé strany rce a vyšla mi rovnost.

Tedy levá: $\sin \frac{\frac{4\pi }{3}}{2}=\sin \frac{2\pi }{3}=\sin \frac{\pi }{3}$

A pravá strana: $-\sin \frac{4\pi }{3}=\sin \frac{pi }{3}$ (přičetla jsem pí, odebrala periodu 2 pí a změnila znaménko jelikož to je ve třetím kvadrantu kde sin je záporný). Takže vyšla rovnost.

zvláštní

Aquabellla · 08. 06. 2012 17:45

↑ Nikol:

Ano, máš to správně. Jen $\frac{4\pi }{3} \not\in (0,\pi)$ , proto není řešením.

Rovnice $\sin \frac{x}{2} \left(1 + 2 \cos \frac{x}{2}\right) = 0$ má ještě jedno řešení a to $\sin \frac{x}{2} = 0 <=> x = 0$

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2012 16:19

Goniometrický příklad

#2 08. 06. 2012 16:26

Re: Goniometrický příklad

#3 08. 06. 2012 16:53

Re: Goniometrický příklad

#4 08. 06. 2012 16:57 — Editoval thriller (08. 06. 2012 16:58)

Re: Goniometrický příklad

#5 08. 06. 2012 17:09 — Editoval Nikol (08. 06. 2012 17:27)

Re: Goniometrický příklad

#6 08. 06. 2012 17:45

Re: Goniometrický příklad

Zápatí