Matematické Fórum

drabi · 09. 06. 2012 12:06

Ahoj,
potřebovala bych poradit, zda postupuji dobře a co mi ještě v příkladu popřípadně chybí:

Spočtěte
$F(a)= \int_0^\infty \frac{1-e^{-ax^2}}{x^2} \mathrm{d}x$

použiji větu o derivaci integrálu závislého na parametru,
musím tedy ověřit předpoklady:
$f(a,x):= \frac{1-e^{-ax^2}}{x^2}, a \in I, x \in (0,\infty)$
(a) pro s.v. $x \in (0, \infty)$ je funkce $f(.,x)$ diferencovatelná na I
(b) pro všechna $a \in I$ je funkce $f(a,.)$ měřitelná
(c) existuje integrovatelná funkce $g$ na $(0, \infty)$ , že pro všechna $a \in I$ a $x \in (0, \infty)$
je $\left| \frac{\partial f}{\partial a}(a,x) \right| \le g(x)$
(d) existuje $a_0 \in I$ , že $f(a_0,.)$ je integrovatelná na $(0, \infty)$

(a) funkce je integrovatelná pro $a \in [0,\infty)$
(b) funkce je spojitá, tudíž měřitelná na $(0, \infty)$
(c) nevím, jak tu majorantu dostat, mám tušení, že budu muset hledat nějakou lokální, nebo jsem se přehlídla? S tímto krokem si nevím moc rady
(d) např. $a_0 = 1$

výpočet:

$F'(a) = \int_0^\infty e^{-ax^2} \mathrm{d}x = \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}}$

$F(a) = \int F'(a) \mathrm{d}a = \int \frac12 \sqrt{\frac{\pi}{a}} \mathrm{d}a = \sqrt{\pi a} + c$
hledáme konstantu $c \in \mathbb{R}$
pro $a=1$
$F(1) = \sqrt{\pi} + c$
$F(1) = \int_0^\infty \frac{1-e^{-x^2}}{x^2} \mathrm{d}x = \sqrt{\pi}$
$\Rightarrow c=0$

budu ráda, za jakékoliv připomínky a rady
díky

skoroakvarista · 09. 06. 2012 13:36

↑ drabi:
Zdravím, integrál má smysl počítat jen pro $a>0$ například kvůli tvaru $F'(a)$ , tedy volme a pouze z otevřeného intervalu $I=(0; \infty)$ . Vaše ověření předpokladů b), d) i výpočet dávají smysl. U předpokladu a) si nejsem moc jistý, my ho ve skriptech nemáme, nebo ho v tom prostě nevidím. Snad jste si tím jista vy, nebo poradí někdo zkušenější.
Potom $\left| \frac{\partial f}{\partial a}(a,x) \right| = \texttt{e}^{-ax^2}$ , což lze pro $a\in I$ omezit shora funkcí $\texttt{e}^{-bx^2}$ , kde $0<b<a$ , která je jistě integrabilní na $(0; \infty)$ .

drabi · 09. 06. 2012 13:58

↑ skoroakvarista:

Děkuji mockrát, s tím předpokladem jsem si jistá, máme to přímo ve skriptech

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2012 12:06

záměna integrálu a derivace

#2 09. 06. 2012 13:36

Re: záměna integrálu a derivace

#3 09. 06. 2012 13:58

Re: záměna integrálu a derivace

Zápatí