Matematické Fórum

drabi · 10. 06. 2012 14:15

Ahoj,
potřebovala bych pomoct, jak postupovat s tímto příkladem:

$F(a)= \int_0^{\frac\pi2} \log\left(1 + \frac{a}{\cos^2x} \right)\mathrm{d}x$

Mám určit definiční obor, spojitost a spočítat derivaci

tak definiční obor, budou taková a, pro které daný integrál konverguje:
$\int < \infty \Leftrightarrow \left(1 + \frac{a}{\cos^2x}\right) > 0 \Leftrightarrow a>-1$
pro krajní případ $a = -1: \int_0^\frac\pi2 \log\left(1 - \frac{1}{\cos^2x} \right)\mathrm{d}x$
tento integrál ale nekonverguje, podle limitního srovnávacího kritéria, neboť:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\log\left(1 - \frac{1}{\cos^2x}\right)}{1 - \frac{1}{\cos^2x}} = \infty$
tedy
$\int \log < \infty \Rightarrow \int < \infty$ , nebo-li $\int D \rightarrow \int \log D$

a ohledně tohoto $\int_0^\frac\pi2 1 - \frac{1}{\cos^2x}$ dle výpočtu diverguje
tedy $a \in (-1,\infty)$

pro spojitost použiju větu o spojitost integrálu závislého na parametru:
fce $f(a,x)= \log\left(1 + \frac{a}{\cos^2x}\right)$
$f(.,x)$ je pro s.v. $x \in (0, \frac\pi2)$ spojitá,
$f(a,.)$ je pro $\all a \in (-1, \infty)$ měřitelná,
nevím však, jak to nasadit na třetí podmínku:
existuje integrovatelná funkce g na $(0, \frac\pi2)$ tak, že pro všechna $a \in (-1, \infty)$ a $x \in (0, \frac\pi2)$ je $|f(a, x)| < g(x)$

potom už jen
$F'(a) = \int_0^{\frac\pi2} \frac{1}{a + \cos^2x} \mathrm{d}x = \frac\pi2 \frac1{\sqrt{a}\sqrt{a+1}}$

Nejsem si jistá, zda postupuju dobře, zda něco přehlížím..Taky si nevím rady s tou třetí podmínkou.
Budu ráda za všechny připomínky
Díky

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2012 14:15

integrál závislý na paremetru

Zápatí