Matematické Fórum

Sam_Hawkins · 12. 06. 2012 16:31

Jen drobny dotaz...
funkce $\sqrt{x}$ neni pro $x\in [0,1]$ lipschitzovska protoze nenajdeme K tak aby platila definicni nerovnost nezavisle na x ze?
naproti tomu arctgx je ohranicena takze takove K najdeme, nebo fce ax+b je linearni takze tam to bude primo a

pro $x>\frac{1}{4}$ mi ale prijde ze se $\sqrt{x}$ chova jako kontrakce... kde delam chybnou uvahu?

OiBobik

↑ Sam_Hawkins:

Ahoj,

$\sqrt{x}$ má problém u nuly, kdekoli na $[\epsilon,1]$ už to bude lipschitzovská fce.

$\arctan x$ jsem popsal zde. Klíčová je asi spíš omezenost derivace než omezenost funkce (není teda nutná, ale je postačující) - už jen ten příklad $\sqrt{x}$ ukazuje, že i kdybych ji dodefinoval omezeně spojitě mimo $[0,1]$ , pořád to lipsch. nebude.

Drobná poznámka: u obecné fce $ax+b$ bude ta konstanta $|a|$ , nikoli $a$ .

Rumburak

Nejprve poznámka :

místo "arctgx je ohranicena takze takove K najdeme" by správným argumentem bylo "arctgx má ohraničenou derivaci, takze takove K najdeme" .

Nyní k vlastnímu dotazu:

Že zobrazení $f : X \to X$ (kde $X$ je metrický prostor s metrikou $m$ ) je kontrakce, se definuje podmínkou $m(f(x), f(y)) \le K\,m(x, y)$ ,
platnou pro všechna $x, y \in X$ , při čemž $K < 1$ je (nezáporná) KONSTANTA NEZÁVISLÁ NA VOLBĚ PRVKŮ $x, y$ .
Aby toto bylo splněno u funkce $f(x):=\sqrt{x}$ , museli bychom za metrický prostor X vzít např. interval $(u, +\infty)$ kde $\frac {1}{4} < u < 1$ .
Volit $u = \frac {1}{4}$ nestačí, pravé okolí tohoto bodu splnění oné podmínky kazí.

EDIT. Oprava překlepu.

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2012 16:31

lipschitzovske zobrazeni

#2 12. 06. 2012 16:57 — Editoval OiBobik (12. 06. 2012 17:01)

Re: lipschitzovske zobrazeni

#3 12. 06. 2012 17:17 — Editoval Rumburak (13. 06. 2012 10:28)

Re: lipschitzovske zobrazeni

Zápatí