Matematické Fórum

z26 · 13. 06. 2012 10:51

Dobrý den, potřebovala bych poradit, jak se počítají neurčité diofantovské rovnice,
z materiálů co mám je nechápu. Mohl by mi, prosím, někdo polopaticky napsat postup.
Třeba na př. 2x + 8y = 6
Moc děkuji :-))

OiBobik

↑ z26:

Ahoj,

odkud mají být řešení? ze $\mathbb{Z}$ , nebo z $\mathbb{N}$ ?

On na to asi žádný přespříliš jednotný postup není. V zásadě ale hodně koukám na prvočíselné rozklady čísel. Občas se hodí uvažovat zbytky čísel po dělení nějakým číslem.

V tomto příkladu je to snadné, jelikož je to jenom lineární rovnice a snadno spočtu "obecné reálné" řešení, přičemž pak jen musím určit, která speciální řešení z nich jsou celočíselná:

$2x+8y=&6 \\ x+4y=&3 \\ x=&3-4y \;\; (*)$

Odtud je vidět, že pro libovolné $y\in \mathbb{Z}$ existuje právě jedno $x \in \mathbb{Z}$ , že dvojice $(x,y)$ řeší rovnici.

No a pokud má platit $x,y\in \mathbb{N}$ :
Pak $x\geq0,$ z předpisu $(*)$ tedy ihned plyne, že $y=0$ . To dává i jednoznačné $x=3$ .