Matematické Fórum

FliegenderZirkus

Nemůžu přijít na to, jak zdůvodnit tyto úpravy (A je tenzor druhého řádu) :

(1) $\frac12 $\text{tr}\(\mathbf{A}^2$-\text{tr}$\mathbf{AA}^T$\)=\text{tr}$\mathbf{AA}^T$$ ,

(2) $\frac14 $\text{tr}\(\mathbf{A}^3$-\text{tr}$\mathbf{A}^2\mathbf{A}^T$\)=\text{tr}$\mathbf{AA}^T$^2$ .

Přitom platí:
$\text{tr}$\mathbf{A}$=\mathbf{I}:\mathbf{A}$ , kde $\mathbf{I}$ je jednotkový tenzor,
$\text{tr}$\mathbf{AB}$=\text{tr}$\mathbf{BA}$$
$\mathbf{A}:(\mathbf{B}\mathbf{C})=(\mathbf{B}^T\mathbf{A}):\mathbf{C}=(\mathbf{A}\mathbf{C}^T):\mathbf{B}$
Příklad toho, jak se s těmito pravidly počítá:
$\text{tr}$\mathbf{A}^2\mathbf{A}^T$&=\text{tr}$\mathbf{A}\mathbf{A}\mathbf{A}^T$=\text{tr}$\mathbf{A}\mathbf{A}^T\mathbf{A}$=\mathbf{I}:\[(\mathbf{A}\mathbf{A}^T)\mathbf{A}\]=\mathbf{A}^T:\mathbf{A}\mathbf{A}^T=\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T:\mathbf{A}^T=\mathbf{A}\mathbf{A}^T\mathbf{A}^T:\mathbf{I} \\ &=\text{tr}$\mathbf{A}\(\mathbf{A}^T$^2\)$ .

Umí toto případně WolframAlpha nebo Mathematica? Díky za reakce

EDIT: Po dosazení jednotkového tenzoru mi připadá, že rovnosti (1), (2) neplatí...knihu ovšem mám kvalitní a chyb je v ní minimum. :)

EDIT 2: Vyřešeno, ty rovnosti skutečně neplatí, ale není to chyba v knize, jen mé nepochopení toho, o co v úloze jde.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2012 18:47 — Editoval FliegenderZirkus (13. 06. 2012 20:40)

Úpravy výrazů se stopou tenzoru

Zápatí