Matematické Fórum

gorilino · 14. 06. 2012 20:50

Dobrý den, potřeboval bych poradit s pár příklady do lineární algebry.

První příklad u kterého si nejsem jist je tento:

Rozhodněte, zda vektory $p_{1}, p_{2}, p_{3} \in P_{2}$
jsou lineárně závislé nebo nezávislé, je-li:
$p_{1}(x) = 1+2x -x^{2}$
$p_{2}(x) = 3+2x$
$p_{3}(x) = -2 + x^{2}$

---------------------------------------------------------------------------------------
Řešil jsem to podle jedněch skript takto:

$a_{1} \cdot (1+2x - x^{2}) + a_{2}\cdot (3 + 2x) + a_{3} \cdot (-2 + x^{2}) = 0$

$a_{1} + 2a_{1}x - a_{1}x^{2} + 3a_{2} + 2a_{2}x - 2a_{3} + a_{3}x = 0$

$a_{1} + 3a_{2} - 2a_{3} = 0$
$2a_{1} + 2a_{2} = 0$
$-a_{1} +a_{3} = 0$

Pak jsem to převedl na matici:

1 3 -2 | 0
2 2 0 | 0
-1 0 1 | 0

Nakonec jsem se gausovkou dostal na něco takého to :

2 6 -4 | 0
0 12 -12 | 0
0 0 -8 | 0

Nevím, zda to mám dobře . A když dostanu takovýto výsledek tak co to znamená? Znamená to že jsou lineárně závislé?

Díky za odpověď.

vanok · 14. 06. 2012 20:54 — Editoval vanok (14. 06. 2012 20:56)

↑ gorilino:
Ahoj, ano je to jedno dobre riesenie.
Len tam chyba ze z poslednej matice mas ako dosledok, ze $a_1=a_2=a_3=0$ jedine mozne riesenie?
poznamka: je to mozne aj trochu inac riesit

gorilino · 14. 06. 2012 21:01

↑ vanok:

Takže je to lineárně nezávislé? a jak by vypadala ta trojuhelnikova matice kdyby ty polynomy byly linearne zavisle? byly by v cele matici nuly? A mohl bys zde prosím uvést to jiné řešení? někde jsem viděl že to někdo rovnou dal do matice bez toho roznásobování a tak.

vanok · 14. 06. 2012 21:13

↑ gorilino:
no jej hodnost by nebola 3.( cize by mala aspon jeden nulovy riadok)

A vies to formalne ukazat, ze ta rovnica ma jedine riesenie?

gorilino · 14. 06. 2012 21:18

↑ vanok:
Podle hodnosti matice a hodnosti rozsirene matice .... tady hodnost matice je 3 a rovna se hodnosti rozsirene matice .... takže má 1 řešení .... a to že se to rovná nule určím z té pravé strany rovnice ne?

$-8x_{3} = 0$

a tak dále u x2 a x1

No a nedá se to nějak zjednodušit ... že bych to rovnou převedl na matici?

vanok · 14. 06. 2012 21:24

to je dobry postup ... az ze si pisal v probleme $a_3$ a nie $x_{3}$
Zjednodusit... ale za cenu vela prace >>> to by bola diagonalizacia tej poslednej matice.... ( no skoro nikto to tak nerobi)

gorilino

↑ vanok:

Jj. Omlouvám se . Moc díky

Vím, že tohle už jsme probírali, ale nějak si s tím furt nevím rady:

Rozhodněte zda polynomy $P_{2}$ nad R - tj. polynomy nejvýše 2. stupně nad reálnými čísly tvoří vektorový prostor (důkaz tvrzení stačí heslovitě) a pokud ano, nalezněte alespoň jednu bázi (Napište ji a ukažte, že je to báze.)

jak dokážu že ty polynomy tvoří vektorový prostor? Probíral jsem se snad tunami skript a nemohu se dobrat řešení.

Nemohl bys mi to prosímtě zdůvodnit a napsat důkaz, kterým bych to mohl zdůvodnit?

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2012 20:50

Pomoc s lineární algebrou

#2 14. 06. 2012 20:54 — Editoval vanok (14. 06. 2012 20:56)

Re: Pomoc s lineární algebrou

#3 14. 06. 2012 21:01

Re: Pomoc s lineární algebrou

#4 14. 06. 2012 21:13

Re: Pomoc s lineární algebrou

#5 14. 06. 2012 21:18

Re: Pomoc s lineární algebrou

#6 14. 06. 2012 21:24

Re: Pomoc s lineární algebrou

#7 14. 06. 2012 21:34 — Editoval gorilino (15. 06. 2012 06:53)

Re: Pomoc s lineární algebrou

Zápatí