Matematické Fórum

↑ Jirda:

Ahoj,

moc tomu nerozumím, ale

když mrkneš na wiki, tak Theorem 3 udává do souvislosti onen počet sylowových p-podgrup  a index normalizátoru libovolné Sylowovy p-grupy. Když si uvědomíš, že index normalizátoru nezávisí obecně pouze na řádu (resp. prvočíselném rozkladu řádu) grupy (příkladem budiž nekomutativní grupa versus komutativní grupa, přičemž normalizér v kom. grupě je vždy celá G), pak nutně nemůže platit tvoje domněnka o "maximalitě r" (jelikož zbylé podmínky, kladené na r, závisí pouze na řádu podgrupy).
Zkráceně řečeno: Pro každou možnou velikost grupy najdu komutativní grupu, která bude mít Sylowovu p-grupu jenom jednu. Takže tvrzení o maximalitě nemůže platit.
(Ultrazkráceně řečeno: Pro libovolné prvočíslo, , , uvažme ... ta obsahuje pouze jednu sylowovu p-podgrupu, jelikož obsahuje pouze jednu podgrupu řádu . Viz charakterizace konečných cyklických grup)

V tvém příkladu lze ovšem ty podgrupy snadno přímo spočítat - jelikož 3,5 jsou prvočísla, grupy velikosti 3, resp. 5, budou vždy jen cyklické. No a je známo, že prvky řádu 3, resp. 5, jsou v S_5 pouze trojcykly, resp. pěticykly. Stačí tedy spočítat počet trojcyklů v S_5, resp pěticyklů v S_5, a vydělit to počtem generátorů grupy , resp. (proč, to si můžeš rozmyslet; přijde mi snazší a srozumitelnější to nahlédnout než to tu zdlouhavě popisovat).


Jinak zde jsem narazil na definici sylowovy p-podgrupy: je to p-grupa a index v grupě není dělitelný p. To znamená nutně, že pro , jediné, co považujeme za Sylowovy p-podrupy, jsou podgrupy řádu . Tedy v tvém příkladu se (podle této definice) nepovažují grupy řádu 4 za sylowovy 2-podgrupy grupy S_5.

↑ Jirda:

Bude jich víc:

1) První argument je ta D4, která tam je, ovšem ne jedna, nýbrž v několika kopiích - jednou pro pomyslný čtverec s vrcholy 1,2,3,4, podruhé pro čtverec s vrcholy 2,3,4,5 ... atd. (jde o stejnou strukturu, akorát "prvky se jinak jmenují" / přičemž v S5 máme k dispozici těch "jmen" 5 a všechna jsou rovnocenná) - snadno se nahlédne (nebo spíš - snad by mělo jít nahlédnout. Mě přijde, že to tak je, ale možná se platu), že těchto podgrup je 15.

2) sylowova věta dává podmínku "", nikoli "" - tedy jediná možnost není r=1, nýbrž jsou čtyři možnosti, a sice: r=1, r=3, r=5 a r=15.¨

Celkem tedy by těch podgrup mělo být 15.

/////btw: pěkná témata. Smím se zeptat, co studuješ?

↑ Jirda:

Ahoj,

k tomu Z22 nevím, co dodat (je to všechno správně a žádný dotaz nevidím).

Pokud to zadání má být "Najdete az na izomorfismus vsechny komutativní grupy, ktere maji 18 prvku.", pak je to správně. Možná by stálo za to ukázat, že ty dvě grupy nejsou isomorfní (jedna z nich je cyklická).

Co se 19 týče: Všimni si, že 19 je prvočíslo a vzpomeň si na Lagrangeovu větu.

↑ Jirda:

no může nastat právě jedině to, co popisuješ - což je ta pointa : )).

Co znamená, že 19-prvková grupa má prvek řádu 19?

↑ Jirda:

Vpoho však.

Jde o to, že ten prvek nutně generuje tu grupu. Tedy ta grupa je cyklická, tudíž isomorfní (kde isomorfismus je , kde je generátor cyklické grupy).

Tedy každá 19-prvková grupa je nutně komutativní.

Pozn: Z argumentace je vidět, že to platí pro libovolný prvočíselný řád grupy. Dá se ukázat, že komutativita bude platit i pro všechny grupy řádu p^2, kde p je prvočíslo.

↑ Jirda:

Tím je myšleno "až na isomorfismus"; pro 2 a 3  je to jasné třeba už jen z toho, že 2,3 jsou prvočísla. Pro 4 se hodí načrtnout si Cayleyho tabulku.

Nebo jinak: Jak musí vypadat řády prvků 4 prvkové grupy, pokud neobsahuje prvek řádu 4, tj není cyklická? Odtud y´by už mělo jít nahlédnout příslušný isomorfismus se známou grupou.

↑ Jirda:

No, tak to je všechno přece:

Čtyřprvková grupa
1) Buď má prvek řádu 4, pak je cyklická a isomorfní .
2) Nebo nemá prvek řádu 4, pak je isomorfní .

↑ Jirda:

To má chybu, to bude přepis.

(Začal bych tu házet nějaké odkazy, ale ten důkaz přes Lagrangeovu větu je naprosto průhledný a standardní, takže tím bych defakto jen ujišťoval, nikoli cokoli dokazoval. Navíc skoro všude, ne-li všude, se to bude dokazovat Lagrangeovou větou.)