Matematické Fórum

damegu · 16. 06. 2012 11:21

Mám funkce f(x,y,z) a g(x,y,z) a tento výraz:
$V=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial x }\frac{\partial f }{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial g}{\partial z}$
mám tranformovat do souřadnic:
$x= r\cos \varphi$
$y= r\sin\varphi$
$h=2z+1$

Prošel jsem hodně příkladů na toto téma, ale opravdu se v tom nevyznám, tak Vás chci poprosit, zda-li by mi s tím někdo nepomohl. Díky

thriller · 16. 06. 2012 20:03

Zkusím poradit, ale chvilku potrvá, než to napíšu..

thriller · 16. 06. 2012 20:15

Jednotlivé parciální derivace funkcí $f$ a $g$ je potřeba přepsat na parciální derivace podle nových souřadnic $r$ , $\varphi$ a $h$ .

Tak například $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial x}$ , $\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{\partial g}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \frac{\partial g}{\partial h}\frac{\partial h}{\partial y}$ a podobně pro další parciální derivace.

Nejsnáze se bude převádět parciální derivace podle z, protože jednotlivé dílčí derivace $\frac{\partial r}{\partial z}$ a $\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ jsou rovny nule a $\frac{\partial h}{\partial x}$ se dá snadno vyjádřit z třetí transformační rovnice.

Hůře se pak budou počítat parciální derivace $\frac{\partial r}{\partial x}$ , $\frac{\partial r}{\partial y}$ , $\frac{\partial \varphi}{\partial x}$ a $\frac{\partial \varphi}{\partial y}$ , protože k jejich vyjádření musíš zderivovat rovnice $x= r\cos \varphi$ a $y= r\sin\varphi$ postupně podle x a pak podle y a ze soustav rovnic vyjádřit čemu se ty hledané parciání derivace rovnají.

Počítat to teď nebudu, protože bych si to musel psát na papír a papíry jsou u mě vzácné:).
Pomůže ti to aspoň takhle? Kdyžtak se ještě ptej.

damegu · 17. 06. 2012 11:16

Díky :)
Když mi radil kamarád, tak psal, abych zderivoval
$\frac{\partial F}{\partial r}$
$\frac{\partial F}{\partial \varphi }$
$\frac{\partial F}{\partial h }$
tak sem z toho zmatenej..

Matematické Fórum

#1 16. 06. 2012 11:21

transformace fce

#2 16. 06. 2012 20:03

Re: transformace fce

#3 16. 06. 2012 20:15

Re: transformace fce

#4 17. 06. 2012 11:16

Re: transformace fce

Zápatí