Matematické Fórum

Mrfiluta · 19. 06. 2012 19:16

Pěkný podvečer přeju :)

Mám tu zajímavý příklad a nějak si s ním nevím rady:

$\int_{|z|=2}\frac{e^z}{4z^2+\pi ^2}dz$

Je mi jasné, že křivka bude kružnice o poloměru 2. Čímž by její parametrizace byla $\varphi (t)=2e^{it}, t\in <0,2 \pi>$ . Jenže když to tam všechno nacpu zpátky, vůbec netuším jak na ten integrál jít. Možná by se to nějak dalo počítat líp než přes parametrizaci křivky, napoví někdo?

jelena · 20. 06. 2012 12:24

Zdravím,

dost podrobně se takové úloze věnoval kolega Rumburak, v tématu jsou i odkazy na použití reziduové věty, zda se mi použitelné pro Tvé zadání.

Zkus to sepsat podrobněji, co vychází/nevychází, když všechno "nacpeš zpátky", snad bude větší odezva.

kubom · 20. 06. 2012 15:51 — Editoval kubom (20. 06. 2012 15:57)

Da sa to vypočítať jednoducho cez cauchyho integrálny vzorec:

$\int_{K}^{}f(z)=\int_{K}^{}\frac{1}{4}*\frac{e^{z}}{z^2+(\frac{\pi }{2})^2}=\frac{1}{4}*\int_{K}^{} \frac{e^{z}}{z^2+(\frac{\pi }{2})^2}$

$=\frac{1}{4}*\int_{K}^{}\frac{e^{z}}{(z+j\frac{\pi }{2})(z-j\frac{\pi }{2})}$

A máme nulové body $z1=j\frac{\pi }{2} ; z2=-j\frac{\pi }{2}$ ktoré sa náchádzajú vo vnútri krivky

teda $\int_{K}^{}f(z)=\frac{1}{4}2\pi j(\frac{e^{z1}}{(z1+j\frac{\pi }{2})}+\frac{e^{z2}}{(z2-j\frac{\pi }{2})})$

A vyčísliť to už snáď zvládneš.

$\int_{K}^{}f(z)=\frac{1}{4}2\pi j(\frac{e^{z1}}{(z1+j\frac{\pi }{2})}+\frac{e^{z2}}{(z2-j\frac{\pi }{2})})=$

$=\frac{1}{4}2\pi j(\frac{j}{j\pi }+\frac{-j}{-j\pi })=\frac{1}{4}2\pi j*\frac{2}{\pi }=j$

Neviem či je to správne, pretože som sa náhlil.

Matematické Fórum

#1 19. 06. 2012 19:16

Integrál funkce komplexní proměnné přes křivku

#2 20. 06. 2012 12:24

Re: Integrál funkce komplexní proměnné přes křivku

#3 20. 06. 2012 15:51 — Editoval kubom (20. 06. 2012 15:57)

Re: Integrál funkce komplexní proměnné přes křivku

Zápatí