Matematické Fórum

Ahoj,

prosím o pomoc s důkazem následujícího tvrzení:

Nechť máme jednotkovou sféru S se středem v počátku, určující stereografickou projekci P, a rovinu r, určující reflexi T v prostoru.
Pak existuje kruhová inverze Z v rovině z = 0, taková, že pro libovolné dva body A, B z S takové, že A = T(B), platí, že P(A) = Z(P(B)).

Jinak řečeno, rovina r jednoznačně určuje kruhovou inverzi v z = 0, která na sebe zobrazí obrazy bodů A a B při stereografické projekci, pokud A se zobrazuje na B v reflexi podle r.

Hledal jsem dlouho, ale našel jsem vždy jen jednoduché vysvětlení toho, že obrazy bodu v stereografické projekci nejdříve ze severního pólu a pak z jižního jsou navzájem v kruhové inverzi. Nejsem si jistý, jestli se tento fakt využije a jak.

Také bych měl pracovat pouze s definicemi ster. projekce a kruhové inverze, žádná další tvrzení nemám k dispozici.

Moc děkuji za každou radu.