Matematické Fórum

fr88styl8 · 18. 11. 2008 18:07

dají se na tento integrál přímo aplikovat vzorce, nebo řešit bez substituce?

výsledek je tg(x) - cotg(x) + c

ale když dosadím tak dostanu tg(x)*cotg(x) ne?

lukaszh

↑ fr88styl8:
$\int\frac{\textrm{d}x}{\sin^2x\cos^2x}=\int\frac{\textrm{d}x}{\sin^2x}+\int\frac{\textrm{d}x}{cos^2x}=\boxed{-\cot x+\tan x+C}$
Použil som rozklad na parciálne zlomky.
$\frac{1}{\sin^2x\cos^2x}=\frac{A}{\sin^2x}+\frac{B}{\cos^2x}$

ttopi · 18. 11. 2008 18:20 — Editoval ttopi (18. 11. 2008 18:21)

Takové Integrýly se řeší vhodnou substitucí.

Jelikož je R sudá v obou proměnných, používá se substituce:
$\tan x=t$

Pak je $\sin^2x=\frac{t^2}{t^2+1}$ a $\cos^2x=\frac{1}{t^2+1}$ a $dx=\frac{dt}{t^2+1}$

Když to dosadíš a pokrátíš, dostaneš $\int1+\frac{1}{t^2}\ dt=t-\frac{1}{t}+C=\tan x-\cot x+C$

fr88styl8 · 18. 11. 2008 18:23

↑ lukaszh:

stydím se... dík moc já to nerozložil...

fr88styl8 · 18. 11. 2008 18:24

↑ ttopi:

jj vím že to jde takhle, taky jsem to tak řešil... ale ten rozklad a použití vzorce je podstatně rychlejší

ttopi · 18. 11. 2008 18:56

↑ fr88styl8:
Obecně ovšem ne. Mohou být i složitější R a tam se pak nedopočítáš, proto je třeba substituce pro goniometrické funkce a jejich integrály znát.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2008 18:07

integrál

#2 18. 11. 2008 18:19 — Editoval lukaszh (18. 11. 2008 18:20)

Re: integrál

#3 18. 11. 2008 18:20 — Editoval ttopi (18. 11. 2008 18:21)

Re: integrál

#4 18. 11. 2008 18:23

Re: integrál

#5 18. 11. 2008 18:24

Re: integrál

#6 18. 11. 2008 18:56

Re: integrál

Zápatí