Matematické Fórum

Boneshock · 22. 06. 2012 20:33

Zdravím, chci se nejdříve zeptat, jestli se dají vypočítat determinanty matice 4x4 a více pomocí nulovaní pod hlavní diagonálou.

například matice
3 2 1 5
2 7 5 6
6 4 1 0
4 -3 1 1
a kolik vám to vyšlo, popřípadě postup pro kontrolu =)

a nyní hlavní otázka: Mohu použít Sarrusovo pravidlo tím způsobem, že si matici upravím na

3 2 1 5
0 -17 -13 -8
0 0 -1 10
0 -17 -1 -17

a teď použít saurruse?

$3*(-1)^{1+1}$ * matice (viz níže)
-17 -13 -8
0 -1 10
-17 -1 -17

? Děkuji předem za odpověď :)

kaja.marik

Boneshock napsal(a):
Zdravím, chci se nejdříve zeptat, jestli se dají vypočítat determinanty matice 4x4 a více pomocí nulovaní pod hlavní diagonálou.

ano

například ...
a kolik vám to vyšlo, popřípadě postup pro kontrolu =)

vysledek se da overit nejak takto (upravte si zadani podle svoji matice)

a nyní hlavní otázka: Mohu použít Sarrusovo pravidlo...

Sarrusovo pravidlo je pro determinant 3x3 matice. Pokud determinant matice 4x4 upravime na neco krat determinant 3x3, je mozno ten determinant 3x3 dopocitat Sarrusovym pravidlem, protoze to je determinant 3x3 a pro ty se da pouzit Sarrusovo pravidlo. Uff :)

vanok · 22. 06. 2012 21:05

Ahoj ↑ Boneshock:,
Neda.
Ked si studoval uz pojem determinantu... tak vies, ze je definovany takto:

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n A_{i,\sigma_i}.\$

Cize na vypocet podla definicie je treba n! clenov.
Pre n=4, je n!=24 tak clenov... a ak by siu uvazoval Sarrus-ovo pseudo pravidlo mas len 8 clenov k disposicii.

Boneshock · 23. 06. 2012 10:47

Pardon, ted jsem zmateny a nevim na co pan Vanok odpovidal

Protoze mi prijde ze si vase odpovedi dohromady odporuji.

Protoze kaja.marik mi odpovedel ano na obe otazky, jednak ze se da pocitat determinant u matic 4x4 nulovanim pod hlavni diagonalou

a take ze mohu matici 4x4 puvodniho tvaru

3 2 1 5
2 7 5 6
6 4 1 0
4 -3 1 1

upravit na tento tvar, jako kdybych chtel delat normalni schodovity, ale udelam jen prvni krok, protoze pak mi prijde mnohem jednodussi a rychlejsi pocitat to sarrusem, nez dale slozite nulovat a pocitat bez kalkulacky s velkymi cisly

3 2 1 5
0 -17 -13 -8
0 0 -1 10
0 -17 -1 -17

a pocitat to tim $3*(-1)^{1+1}$ * matice (viz dole)
-17 -13 -8
0 -1 10
-17 -1 -17

a ted si prave nejsem jisty, na co pak Vanok odpovida: "Neda"

Muze nekdo osvetlit? Dekuji

vanok · 23. 06. 2012 11:07

↑ Boneshock:,
V mojom prispevku najdes
1) Definiciu pojmu determinant.
2) Poznamku, co ti pomoze pochopit, ze Sarrus funguje len pre matice (3;3) a (2;2)
Co nenajdes, to je analysa co by sa dalo urobit, aby si dosiel jednoducho k vypoctu determinantu. A to preto, lebo kolega ↑ kaja.marik: ti dal dokonale poznamky, co ti ozaj mozu pomoct... a v nicom mi on neprotireci a podobne aj ja nie jemu.

Inac v tvojom posledmon prispevku vdaka Laplace-ovej metode si transformoval vypocet tvojho determinantu, na vypocet noveho determinantu (3;3)... a tam pripadne na jeho vypocet mozes pouzit Sarrus-ove pravidlo. (Ale toto nebolo jasne z tvojho prveho prispevku). A tiez v matematike, je zvykom vzdy popisat pouzity postup ( a tak to urob, aby si mal dokonale riesenie)

Boneshock

takze pocitam dale

det= $3*(-1)^{1+1}$ $\begin{pmatrix}-17 & -13& -8 \\ 0 & -1 & -10 \\ -17 & -1& -17\\ -17 & -13& -8\\ 0 & -1& 10\end{pmatrix}$

Edit2: Uprava H6 z 10 na -10

Cynyc · 23. 06. 2012 11:31

↑ Boneshock: Determinanty se úpravou na odstupňovaný tvar řešit dají, ba je to pro vyšší n v průměru nejrychlejší metoda (s časovou složitostí n^3, zatímco výpočet podle definice má složitost n!). Je však třeba ji provádět opatrněji, protože obvyklé řádkové úpravy změní determinant. Konkrétně záměna dvou řádků změní jeho znaménko a vynásobení řádku konstantou touto konstantou vynásobí i determinant. Oproti tomu přičtení násobku nějakého řádku jinému determinant nezmění. Takže když například ve Vašem zadání přičtete k (-3)-násobku druhého řádku dvojnásobek prvního, abyste dostal v prvním sloupci nulu, vynásobíte tím determinant mínus třemi. Je tedy třeba upravovat takto:

Nyní lze, jak píšete, použít rozvoje determinantu podle prvního sloupce a zbylý determinant 3x3 spočítat třeba Sarrusovým pravidlem.

Boneshock · 23. 06. 2012 12:42

Cynyc dekuji, ted uz vidim, ze kdyz nasobim kazdy nepivotni radek nejakym cislem, tak musim celou matici delit stejnym cislem. Ale stejne, kdyz pak pocitam dale, tak determimant matice te matice 3x3 vychazi 1887 (i podle online matrix calculatoru) a ikdyz to pak delit temi cisly, kteremi jsem predtim determinant nasobil, abych se dostal k matici 3x3, tak mi nevychazi stejny vysledek.

pouzivam
http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/
tam kdyz zadam matici
3 2 1 5
2 7 5 6
6 4 1 0
4 -3 1 1
tak vyjde det= 731

a kdyz pocitam nejdriv eliminaci a pak spojim se sarrusem,
tak det matice mi vysel, jak jsem napsal vyse, 1887

a nyni, kdybych to delil -3 a 3 (to jsou ty cisla z upravy na schodovity tvar) a pak jeste nasobil tremi viz $3*(-1)^{1+1}$ , tak nejenze mi vyjde cislo neco jineho (-629) a dokonce to vyjde zaporne. Takze kde delam chybu?

Dekuji

Cynyc · 23. 06. 2012 14:28

↑ Boneshock: Máte špatně tu eliminaci - ve třetím řádku má být na konci -10. Mám to tak už ve svém předchozím příspěvku, asi jste si toho nevšiml.

Boneshock

↑ Cynyc:
Ajo nevsiml, dekuji, az u vas jsem si poradne uvedomil, jak to pocitat.

Takze proste kdyz dostanu matici 4x4 a bude zadano vypocitejte determinant, tak ja se jako prvni budu bud snazit mit v prvnim radku na pozici H1 co nejmensi cislo (idealne jednicku), abych mohl nasobit pivotni radek jak chci a nemusel stejnym cislem delit matici celkove.

Takze zmeny, ktere se u vypoctu determinantu v prubehu uprav deji jsou
a) pri prohazovani jedne dvojice radku se meni znamenko cele matice. Co prehozeni, to 1 zmena znamenka
b) pri nasobeni nepivotniho radku musim matici delit stejnym cislem.

Jen napiste prosim ano, at mam uz pro dnesek klid =)

Dekuji.

Cynyc · 24. 06. 2012 02:45

↑ Boneshock: Tuším, že to myslíte dobře, ale neříkáte to přesně. Kritérium toho, zda dělit (resp. násobit) celý determinant při násobení (resp. dělení) není to, zda jde o pivotní řádek, ale zda se řádek násobí na místě, kde je, nebo jen pro účel přičtení. Pivotní řádek můžete chtít dělit, vyjdou-li v něm soudělná čísla, a to se v determinantu projeví také. Prostě nahradíme-li řádek nějakou lineární kombinací řádků (typicky upravovaného a pivotního), dělí se determinant jen koeficientem, kterým byl násoben nahrazovaný řádek.

Matematické Fórum

#1 22. 06. 2012 20:33

Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#2 22. 06. 2012 20:58 — Editoval kaja.marik (22. 06. 2012 20:59)

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

Boneshock napsal(a):

#3 22. 06. 2012 21:05

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#4 23. 06. 2012 10:47

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#5 23. 06. 2012 11:07

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#6 23. 06. 2012 11:19 — Editoval Boneshock (23. 06. 2012 16:22)

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#7 23. 06. 2012 11:31

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#8 23. 06. 2012 12:42

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#9 23. 06. 2012 14:28

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#10 23. 06. 2012 14:40 — Editoval Boneshock (23. 06. 2012 16:16)

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

#11 24. 06. 2012 02:45

Re: Matice 4x4 řešená Sarrusovým pravidlem

Zápatí