Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 24. 06. 2012 21:03

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Maticová rovnost s parametrem

Zdravím :), potřebovala bych prosím postrčit. Nevím, jak začít.

Mám zadání: $AX = B - \alpha X$, kde:
$A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 2\\ \end{pmatrix}$
$B=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 2\\ \end{pmatrix}$

Podle reálného parametru $\alpha$ mám řešit soustavu.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Můžu postupovat třeba takto?

$\begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 2\\ \end{pmatrix} - \alpha \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$

Z čehož bych měla rovnice:
$3a + c = 1 -\alpha a\\ 2a + 2c = 2 - \alpha c$

$3b + d = 3 - \alpha b\\ 2b + 2d = 2 - \alpha d$

A to řešit jako 2 soustavy?

Offline

 

#2 24. 06. 2012 21:11 — Editoval Bati (24. 06. 2012 21:13)

Bati
Příspěvky: 2469
Reputace:   192 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

Ahoj,
takto to jistě lze pro rozumně velké matice.
Jinak to lze elegantněji využitím distributivity násobení matic, převedením na
$X=(A+\alpha\cdot I)^{-1}\cdot B$ (I je jednotková matice)

Offline

 

#3 24. 06. 2012 21:21 — Editoval OrangeTree (24. 06. 2012 21:22)

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ Bati:
Děkuju :). Jak prosím funguje ta distributivita u matic?

Převedu si $AX = B - \alpha X$ na $(A + \alpha)X=B$. Násobím zprava. A jaký platí vztah pro tu inverzní matici?

Teď tedy rovnici násobím $(A+\alpha )^{-1}$, abych na levé straně měla jenom $X$?

Offline

 

#4 24. 06. 2012 21:30

Bati
Příspěvky: 2469
Reputace:   192 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

Distributivita násobení matic vzhledem ke sčítání je vlastnost : $C(A+B)=CA+CB$
Abychom osamostatnili matici X na jedné straně rovnice, vynásobíme celou rovnici z příslušné strany, vhodnou maticí : $AX=B\quad \setminus A^{-1}\cdot\quad\rightarrow X=A^{-1}B$ nebo
$XA=B\quad \setminus \cdot A^{-1}\quad\rightarrow X=BA^{-1}$
Ještě jedna důležitá věc : $\alpha A=\alpha(IA)=(\alpha I)A$

Offline

 

#5 24. 06. 2012 21:38

Bati
Příspěvky: 2469
Reputace:   192 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

Takže ano, vynásobí se to $(A+\alpha I )^{-1}$ zleva.
Je třeba rozlišovat $(A+\alpha I )$ a $(A+\alpha )$. I když to intuitivně chápeme správně, tak ten druhý výraz je formálně nesmyslný, neboť operace sčítání matice s číslem se běžně nedefinuje.

Offline

 

#6 24. 06. 2012 21:50 — Editoval OrangeTree (24. 06. 2012 21:51)

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ Bati:
Už to v tom začínám pomalu vidět :).

Pokračuju od tvaru: $X=(A+\alpha \cdot I)^{-1}\cdot B$.

Mám:
$X=( \begin{pmatrix} 3 & 1\\ 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0\\ 0 & \alpha \end{pmatrix} )^{-1} \cdot B $
$X= \begin{pmatrix} 3+\alpha & 1\\ 2 & 2+\alpha \end{pmatrix} ^{-1} \cdot B $
$X= \begin{pmatrix} 3+\alpha & 2\\ 1 & 2+\alpha \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

$X= \begin{pmatrix} (3+\alpha) + 4 & (3+\alpha)\cdot 3+4\\ 1+(2+\alpha)\cdot 2 & 3+(2+\alpha)\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7+\alpha & 13+3 \alpha \\ 5+2 \alpha & 7 + 2 \alpha \end{pmatrix}$

Je to tak správně?

Offline

 

#7 24. 06. 2012 21:52 — Editoval vanok (24. 06. 2012 21:55)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

POZOR tvoj vypocet inveznej matice nie je spravny.

Poznamka: a ked to vyriesis, mozes aj tou prvou metodou, co si navrhla prist k vysledku....

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#8 24. 06. 2012 21:53

Bati
Příspěvky: 2469
Reputace:   192 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

Jak se prosím počítala ta inverzní matice?

Offline

 

#9 24. 06. 2012 21:56

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ vanok:
Pravda, spletla jsem si to s transponovanou.

Offline

 

#10 24. 06. 2012 22:04 — Editoval OrangeTree (24. 06. 2012 22:28)

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ Bati:
Znám pouze metodu s napsáním jednotkové matice "vedle". A postupně upravovat obě matice.

$\begin{pmatrix} 3+\alpha & 1\\ 2 & 2+\alpha \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3+\alpha & 1\\ 2(3+\alpha) & (2+\alpha)(3+\alpha) \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3+\alpha \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3+\alpha & 1\\ 0 & (2+\alpha)(3+\alpha)-2 \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -2 & 3+\alpha \end{pmatrix}$

To nevychází zrovna hezky.

Podle pravidla pro matice (2, 2):
$\frac{1}{(3+\alpha)(2+\alpha)-2} \begin{pmatrix} 2+\alpha & -1\\ -2 & 3+\alpha \end{pmatrix}$

Offline

 

#11 24. 06. 2012 22:35 — Editoval vanok (24. 06. 2012 22:41)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

http://www.wolframalpha.com/input/?i=[[3%2Bx%3B1]%3B[2%3B2%2Bx]]
tu posielam na kontrolu

Pochopitelne pre kriticke hodnoty  $\alpha$ musis vysetrit  tvoju rovnicu naviac.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#12 24. 06. 2012 22:38 — Editoval OrangeTree (24. 06. 2012 22:38)

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ vanok:
Děkuju :). Tak ten poslední tvar by snad měl být správně. Akorát pro větší matice bez použití toho pravidla bych to asi nějak lehce nezvládla.

Takže teď to roznásobit s maticí B?

Offline

 

#13 24. 06. 2012 22:43

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

tie kriticke hodnoty su -1; -4

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#14 24. 06. 2012 22:47

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ vanok:
A jakým způsobem to teda můžu odvodit ;)?

Offline

 

#15 24. 06. 2012 22:51 — Editoval vanok (24. 06. 2012 22:52)

vanok
Příspěvky: 14611
Reputace:   742 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ OrangeTree:,
To,som odovodil podla tej inveznej matici...
to potom musis riesit na tvojom zakladnom systeme...tou metodou, co si chlela na zaciatku pouzit.
Lebo tato metoda funguje len pre invertibilne matice.

Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#16 25. 06. 2012 14:07

OrangeTree
Příspěvky: 61
Reputace:   0 
 

Re: Maticová rovnost s parametrem

↑ vanok:
Zkusila bych to tedy původní metodou. Mám tedy:
$3a + c = 1 -\alpha a\\ 2a + 2c = 2 - \alpha c$

Řeším pomocí matice:
$\begin{pmatrix} 3+\alpha & 1 & | 1\\ 2 & 2+\alpha & |2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3+\alpha & 1 & | 1\\ 0 & (2+\alpha)(3+\alpha)-2 & |2(3+\alpha)-2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 3+\alpha & 1 & | 1\\ 0 & \alpha^{2}+5 \alpha +4 & |2\alpha + 4 \end{pmatrix} $

A v tuhle chvíli mám problém, že si nejsem moc jista, co vlastně dělám.
Budu teď řešit rovnost $\alpha^{2}+5 \alpha + 4 = 2 \alpha +4$? Co pro mě teď alfa znamená?

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson