Matematické Fórum

diskr · 28. 06. 2012 20:53 — Editoval diskr (28. 06. 2012 21:00)

Nazdar, po dlouhé době se na vás obracím o pomoc s touto rovnicí:
$(xy'-y)*arctg(\frac{y}{x})=x$
Rád bych slyšel radu jak dál, případně kde je chyba.

Zavedu si substituci:
$\frac{y}{x}=z$
$y=zx$
$y'=z'x+z$

Dosadím:
$[x(z'x+z)-zx]*arctg(z)=x$
$x[z'x+z-z]*arctg(z)=x$
$z'x*arctg(z)=1$
$z'*arctg(z)=\frac{1}{x}$

Jak dál?

Pavel Brožek · 28. 06. 2012 20:55

Ahoj, z se odečte a separuješ proměnné.

diskr · 28. 06. 2012 21:25 — Editoval diskr (28. 06. 2012 21:51)

Takto?
$\frac{dz}{dx}*arctg(z)=x$
$\int_{}^{}arctg(z)*dz=\int_{}^{}\frac{1}{x}*dx$
// oprava:
$z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}-\int{\frac{z}{1+z^2}\mathrm{d}z}=ln |x| + ln |C(x)|$

Pavel Brožek · 28. 06. 2012 21:35

Takhle arctg nemůžeš rozepsat (to by to musel být cotg). Navíc máš na pravé straně x místo 1/x.

jarrro · 28. 06. 2012 21:43

$\int{\mathrm{arctg}{\left(z\right)}\mathrm{d}z}=z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}-\int{\frac{z}{1+z^2}\mathrm{d}z}$

diskr · 28. 06. 2012 21:56 — Editoval diskr (28. 06. 2012 22:17)

Aha, díky oboum, já si říkal, že W-A asi fakt nekecá..

$z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}-\frac{1}{2}ln(z^2+1)=ln |x| + ln |C(x)|$

Co teď s tím?

$ln(e^{z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}})-ln(z^2+1)^{\frac{1}{2}}=ln |x| + ln |C(x)|$
$\frac{e^{z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}}}{(z^2+1)^{\frac{1}{2}}}=x*C(x)$

jarrro · 28. 06. 2012 22:28

$z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}-\frac{1}{2}\ln(z^2+1)=\ln{|cx|}\nl \frac{\mathrm{e}^{z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}}}{\sqrt{z^2+1}}=\left|cx\right|\nl x=c\cdot\frac{\mathrm{e}^{z\mathrm{arctg}{\left(z\right)}}}{\sqrt{z^2+1}}\nl x=c\cdot\frac{\mathrm{e}^{\frac{y}{x}\mathrm{arctg}{\left(\frac{y}{x}\right)}}}{\sqrt{\frac{y^2}{x^2}+1}}\nl 1=c\cdot\frac{\mathrm{e}^{\frac{y}{x}\mathrm{arctg}{\left(\frac{y}{x}\right)}}}{\sqrt{x^2+y^2}}$

diskr · 29. 06. 2012 10:47 — Editoval diskr (29. 06. 2012 11:53)

Díky moc.

Jen dotaz: Neměla by ta konstanta být ve jmenovateli?
$1=\frac{1}{c}\cdot\frac{\mathrm{e}^{\frac{y}{x}\mathrm{arctg}{\left(\frac{y}{x}\right)}}}{\sqrt{x^2+y^2}}$

Nebo na tom jako na konstantě nezáleží?

jarrro · 29. 06. 2012 21:20

↑ diskr:to je jedno ak je c konštanta tak aj jej prevrátená hodnota je konštanta problém môže nasta´t len s nulou, ale c zrejme nulové nemôže by´t, lebo by sa nula rovnala nenule

diskr · 29. 06. 2012 21:39

Oki, ještě jednou díky.

Matematické Fórum

#1 28. 06. 2012 20:53 — Editoval diskr (28. 06. 2012 21:00)

Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#2 28. 06. 2012 20:55

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#3 28. 06. 2012 21:25 — Editoval diskr (28. 06. 2012 21:51)

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#4 28. 06. 2012 21:35

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#5 28. 06. 2012 21:43

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#6 28. 06. 2012 21:56 — Editoval diskr (28. 06. 2012 22:17)

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#7 28. 06. 2012 22:28

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#8 29. 06. 2012 10:47 — Editoval diskr (29. 06. 2012 11:53)

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#9 29. 06. 2012 21:20

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

#10 29. 06. 2012 21:39

Re: Nelin. Diferenciální Rovnice II. řádu

Zápatí