Matematické Fórum

NeoMartin · 09. 07. 2012 13:35

Dobrý den,
prosím pomozte mi vypočíst příklad ke zkoušce z fyziky s následujicím zadáním.

Zjisti souřadnice čtvrt kružnice o poloměru r a hmotnosti m v 1. Kvadrantě.

Děkuji mockrát za pomoc s příkladem.
Budu opravdu vděčný.

zdenek1 · 09. 07. 2012 13:52

↑ NeoMartin:
zadání nerozumím, nejspíš jsi při přepisování na něco zapomněl.

NeoMartin · 10. 07. 2012 08:50

zdenek1 napsal(a):
↑ NeoMartin:
zadání nerozumím, nejspíš jsi při přepisování na něco zapomněl.

Asi máte pravdu. Zkusím to napsat ještě trochu jinak.
Zadání:

Určete polohu těžiště čtvrtkružnice o poloměru R a hmotnosti m.

T=[xT;yT]

Snad Vám to pomůže s řešením.
Moc by mi to pomohlo.
Předem děkuji vřele

zdenek1 · 10. 07. 2012 10:31

↑ NeoMartin:
$x_T=\frac{\int x\,\text{d}m}{m}$ a $y_T=\frac{\int y\,\text{d}m}{m}$
Když si zavedeš délkovou hustotu $\tau =\frac{m}{l}=\frac{m}{\frac142\pi r}=\frac{2m}{\pi r}$
je $\text{d}m=\tau \text{d}l=\tau r\text{d}\varphi$
Dále pro kružnici platí
$\begin{cases}x=r\cos\varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}$
takže dostáváš
$x_T=\frac1m\int_{0}^{\frac\pi2}r\cos \varphi \tau r\,\text{d}\varphi =\frac{\tau r^2}{m}\int_{0}^{\frac\pi2}\cos \varphi \,\text{d}\varphi$
a
$y_T=\frac1m\int_{0}^{\frac\pi2}r\sin \varphi \tau r\,\text{d}\varphi =\frac{\tau r^2}{m}\int_{0}^{\frac\pi2}\sin \varphi \,\text{d}\varphi$