Matematické Fórum

MiK1234 · 09. 07. 2012 16:26

Dobrý den,
mám takový menší problém s parametrizací křivek.

Př.: Napište dva způsoby parametrizace funkce: x = sin (y). U kružnic to není problém, ale zde nevím...
Děkuji za odpověď.

jelena · 09. 07. 2012 20:13

Zdravím,

uvažuji, že parametrizace $y=t$ , $x=\sin (t)$ (podmínky pro t od -oo do +oo) - je použitelná? Druhá parametrizace by mohla být např. cestou použití goniometrického vzorce $\sin (y)=\cos $\frac{\pi}{2}-y$$ (opraven překlep v závorce)

Nechám se zkritizovat, děkuji.

MiK1234 · 09. 07. 2012 21:26

Mne napadlo například:
1.
x = -cos(t+pi/2)
y = t

2.
x = -sin(t+pi)
y = t

Ale nevím... zdá se mi to zvláštní...

Andrejka3 · 09. 07. 2012 21:38

↑ MiK1234:,↑ jelena:
Zdravím oba.
Je možné použít parametrizaci
$x(t)=\sin (t)$ , $y(t)=t$
pro výrobu "jiných" parametrizací:
Ať $g(s)$ je nějaká vhodná bijekce $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ . Pak
$x(s)=\sin \left( g(s) \right)$ , $y(s)=g(s)$ je taky parametrizace téže křivky.
Použila jsem jen složení fcí.
Pod slovem vhodná se asi skrývá - ryze monotónní, hladce derivovatelná do prvního řádu, podle toho, jak jste si křivku definovali (chcete hladkou? C_1 ? pokud ne, slovicko vhodna mozno vyskrtnout?)

MiK1234 · 09. 07. 2012 22:12

Děkuji za odpovědi...
Zadání je pouze takové, jaké jsem napsal, takže klidně pro t z libovolného intervalu.
Parametrizace může být i "nevhodná" :) Tj. o tom, že chceme, aby byla hladká, se v zadání nepíše...

Andrejka3

Stejně ty nejjednodušší bývají nejslušnější.
Měla jsem spíše psát $t(s)$ místo $g(s)$ .
Tak třeba volba $t=-s$ dá
$y(s)=-s$ , $x(s)=\sin (-s)=- \sin s$ ,
což se slovy dá popsat probíhání v opačném směru. Jestli toto není přímo tzv. opačná křivka či opačná parametrizace (pojem).
nebo pro $t(s)=s +\frac{\pi}{2}$ dostaneme
$y(s)=s+\pi/2$ , $x(s)=\sin (s+\pi/2)= \cos s$ .
Tady probíháme "stejně rychle", ale "nula je posunutá".
Např. volba $t(s)=s^3$ dá parametrizaci, kde je oproti původní "měnící se rychlost probíhání".

Tvůj původní nápad

Mne napadlo například:
1.
x = -cos(t+pi/2)
y = t

2.
x = -sin(t+pi)
y = t

není v případě 1. odlišná parametrizace, protože $-cos(t+pi/2)= \sin t$ a $t=t$ .
V 2. případě, máme opět stejnou dvojici fcí, jen jinak zapsanou, $\sin t$ a $t$ , tedy to je stejná parametrizace jako v 1. a jako v zadání.

Matematické Fórum

#1 09. 07. 2012 16:26

Parametrizace křivky (2 způsoby)

#2 09. 07. 2012 20:13

Re: Parametrizace křivky (2 způsoby)

#3 09. 07. 2012 21:26

Re: Parametrizace křivky (2 způsoby)

#4 09. 07. 2012 21:38

Re: Parametrizace křivky (2 způsoby)

#5 09. 07. 2012 22:12

Re: Parametrizace křivky (2 způsoby)

#6 10. 07. 2012 09:00 — Editoval Andrejka3 (10. 07. 2012 09:05)

Re: Parametrizace křivky (2 způsoby)

Zápatí