Matematické Fórum

jarrro · 19. 07. 2012 15:37 — Editoval jarrro (19. 07. 2012 15:41)

ahojte táto téma spôsobila, že ma napadlo, či pre každý oscilujúci rad (limita postupnosti čiastočných súčtov neexistuje ani vlastná ani nevlastná) a pre každú (aj nevlastnú) hromadnú hodnotu postupnosti čiastočných súčtov existuje uzátvorkovanie, ktorého súčet je tá daná hromadná hodnota ?

vanok · 27. 07. 2012 13:05

↑ jarrro:,
Ahoj, mozes dat nejaky konkretny priklad co ilustruje tvoju myslienku?

jarrro · 27. 07. 2012 14:48 — Editoval jarrro (27. 07. 2012 14:54)

↑ vanok:
tak neviem napríklad rad
$1-1+1-1+1-1+\cdots$
má za postupnosť čiastočných súčtov postupnosť
$1, 0, 1, 0, \cdots$
a dá sa uzátvorkovať ako
$(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots$ čo má súčet 0, ale aj ako
$1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots$ čo má súčet 1
preto ma napadlo či náhodou to tak nie je s každým oscilujúcim radom podobne ako, že neabsolútne konvergetný rad sa dá prerovnať tak, aby bol oscilujúci, s nekonečným súčtom oboch znamienok alebo dokonca mal ľubovoľný reálny súčet.

kaja.marik · 27. 07. 2012 15:13

Ono je rozdil prerovnat (komutativita) a prezavorkovat (asociativita).

viz prvni prispevek

existuje uzátvorkovanie,

a treti

neabsolútne konvergetný rad sa dá prerovnať

S tim prerovnanim rady neco takoveho funguje, byva to v ucebnicich blizko tech partii, ktere se zabyvaji komutativitou u nekonecnych rad

Neco podobneho je http://www.math.muni.cz/~plch/nkpm/ , veta 3.8., Riemannova. Neni to sice presne tohle, ale myslim, ze kdyxz jsme si to pred sto lety na prednasce odvozovali, tak nam z konstrukce bylo jasne, ze radu muzu udelat oscilatorickou s tim, ze limita inferior a superior posloupnosti castecnych souctu jsou jakakoliv dopredu zadana cisla.

Ale jak rikam, jenom si to myslim. Presny dukaz nechavam ctenari jako cviceni, ja tu mam spoustu jinych cviceni .... :)

jarrro · 27. 07. 2012 15:38 — Editoval jarrro (27. 07. 2012 15:40)

to s prerovnaním viem, že ide to som dal len ako analógiu s týmto.
Viem, že je to rozdiel.

Pavel Brožek · 27. 07. 2012 16:02

↑ jarrro:

Pokud je a hromadný bod posloupnosti částečných součtů $s_n=\sum^{n}_{k=1}a_k$ , pak existuje vybraná podposloupnost $s_{n_i}$ , $i\in\mathbb{N}$ z posloupnosti částečných součtů $s_n$ taková, že její limita je $\lim_{i\to \infty} s_{n_i}=a$ . Z původní posloupnosti uzávorkujeme vždycky členy od indexu $n_i$ do indexu $n_{i+1}-1$ pro $i\in\mathbb{N}$ .

Nepřemýšlel jsem nad tím dlouho, tak snad neříkám nesmysly :-)

found · 27. 07. 2012 16:54 — Editoval found (27. 07. 2012 17:01)

Já se v tom nepohybuji moc dlouho, tak snad nebudu plácat blbosti.

Když ale máme neabsolutně konvergující řadu, potom platí, že $\lim_{k\to\infty} a_k = 0$ , takže od určitého indexu platí, že

$(\forall\varepsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb{N})( n>n_0\Rightarrow |a_n| <\varepsilon)$

Což nám jaksi zaručuje, že $(\forall s\in\mathbb{R}^*)(\exists \phi: \mathbb{N}\to\mathbb{N})\left(\sum_{k=1}^\infty a_{\phi(k)} = s\right)$ .

Takže přerovnání, aby neabsolutně konvergující řada, měla libovolný reálný součet (i nekonečný), existuje.

Co se týče té oscilace, v tom se nevyznám, ale myslím si, že by to mohlo fungovat stejně.

Edit: Myslím, že by se hypoteticky měla dát vytvořit přerovnaná posloupnost, která bude obsahovat dvě podposloupnosti s různými členy, přičemž každá z těchto posloupností bude mít svou limitu.

jarrro · 27. 07. 2012 17:21

↑ Pavel Brožek:Diky to ma nenapadloͺ ale asi si chcel napísaťͺ že treba zatvorkovať od indexu $n_{i-1}+1$ do indexu $n_i$ nie?( $n_0=0$ )

vanok · 27. 07. 2012 17:42

Pozdravujem ↑ jarrro:,↑ Pavel Brožek:,
Pavol, previedol problem tykajuci sa radu na problem postupnosti... a jeho uvaha je spravna pre akukovek radu... cize hypotesa oscilacie nie je potrebna.... a plati aj pre konvegrentnu radu ( i ked neda nic nove v tom pripade)

Poznamka: Pavlova teoria ti ukazuje, postupnost ciastocnych suctov v pripade rady
$1-1+1-1+1-1+\cdots$ ma hromadne body 0 a 1, cize "zatvorkovanim" nedosiahnes nic ine ako 0 alebo 1 ako limity.

Ako som poznamenal v predoslom vlakne, dalsia moznoznost na limitu takejto rady je napriklad C-limita (limita v zmysle Cesaro )
pozri aj sem
http://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_mean
kde je poradena aj kniha od Hardy.
Ako aj tu kde su dalsie generalizacie pojmu limity:
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%E2%88%9 … %B7_%C2%B7

Matematické Fórum

#1 19. 07. 2012 15:37 — Editoval jarrro (19. 07. 2012 15:41)

Oscilujúce rady

#2 27. 07. 2012 13:05

Re: Oscilujúce rady

#3 27. 07. 2012 14:48 — Editoval jarrro (27. 07. 2012 14:54)

Re: Oscilujúce rady

#4 27. 07. 2012 15:13

Re: Oscilujúce rady

#5 27. 07. 2012 15:38 — Editoval jarrro (27. 07. 2012 15:40)

Re: Oscilujúce rady

#6 27. 07. 2012 16:02

Re: Oscilujúce rady

#7 27. 07. 2012 16:54 — Editoval found (27. 07. 2012 17:01)

Re: Oscilujúce rady

#8 27. 07. 2012 17:21

Re: Oscilujúce rady

#9 27. 07. 2012 17:42

Re: Oscilujúce rady

Zápatí