Matematické Fórum

kepis · 15. 08. 2012 09:52

Dobrý den.
Prosím o pomoc s postupem řešení a řešením následujícího integrálu. Vím, že pro kontrolu výsledků bychom měli využívat program W. A., ale potřebovala bych ověřit především postup.
Předem moc děkuji a omlouvám se za zdržování.
$\int \frac{1}{sinx}*(cos^{2}x * sin^{2}x + \frac{1}{sinx}) dx$

Roznásobila jsem závorku, čímž jsem dostala součet. Druhá část
$\int \frac{1}{sin^{2}x}dx$ je tabulkový integrál.

Bohužel jsem se zasekla u první části
$\int \frac{cos^{2}x * sin^{2}x}{sinx}$

Zkrátila jsem sinx
$\int cos^{2}x * sinx$

Zde jsem zvolila substituci
$cos x = t$
$-sinx dx = dt$

Integrál tedy vypadá následovně
$\int -t^{2} dt + \int \frac{1}{sin^{2}x}dx$

Po zintegrování jsem dostala
$-\frac{t^{3}}{3} - cotgx + c$

Nakonec jsem dosadila za substituci
$-\frac{cos^{3}x}{3} - cotgx + C$

jelena · 15. 08. 2012 10:07

Zdravím,

mně se to zdá v pořádku. Překontrolovat to můžeš také tak, že svůj výsledek zderivuješ a upravíš k původnímu zadání. WA je opravdu vhodný pro kontrolu výsledku, pro ověření postupu je lepší MAW, umožňuje projít postup krokově a volit své vlastní nápady.

Stačí tak? Děkuji.

kepis · 15. 08. 2012 10:14

↑ jelena:
Stačí bohatě.
Moc děkuji.

barth · 18. 08. 2012 12:10

Můžu se jenom zeptat jak se dostalo to mínus před t^2 ?
a pak ještě trošku primitivnější vysvětlení kroků po zavedení té substituce, pokud by to bylo možné prosím, prostě vysvětlit jak pro debila ;)
děkuji :-)

zuzule · 18. 08. 2012 13:00

↑ barth:
Ahoj,
když máš tento integrál $\int cos^{2}x * sinx$ udělá substituci za $\cos(x)$ tedy $\cos(x)=t$
zderivuješ obě strany takže
$-\sin(x)dx=dt$

osamostatníš dx
$dx=-\frac{dt}{\sin(x)}$
a dosadíš zpátky a dostaneš
$\int t^2\sin(x)(-\frac{dt}{\sin(x)})$

pokrátíš $\sin(x)$ a mínus dáš před $t$ , potom přidáš ten zbytek hned ze začátku a dostaneš tento součet integrálů
$\int -t^{2} dt + \int \frac{1}{sin^{2}x}dx$
a po zintegrování dosadíš zpátky za $t$
stačí ti to takhle nebo není ještě něco jasné?