Matematické Fórum

found · 17. 08. 2012 10:28 — Editoval found (17. 08. 2012 10:29)

Zdravím,

setkal jsem se s lemmatem, které mám dokázat a trošku mi v něm uniká smysl důkazu, který jsem si na internetu našel - důkaz od našeho pana docenta.

Lemma zní následovně:

Nechť jsou $f(z) = \sum_{k=1}^\infty ka_k(z-z_0)^{k-1}, F(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ dvě mocninné řady. Tyto řady mají stejný poloměr konvergence.

Důkaz jsem prováděl tedy následovně. Řekl jsem si, že již mám dokázanou věc, že poloměr konvergence je vždy supremum takových prvků $\rho$ , které když dosadím za $(z-z_0)$ , tak je posloupnost $|a_k \rho|$ omezená. Mám tedy

$R_1 := \sup K_1 = \sup\{\rho \geq 0; |a_k \rho^k| Omez.\} \nl R_2 := \sup K_2 = \sup\{\rho \geq 0; |ka_k \rho^{k-1}| Omez.\}$

Pokud se již dostanu k tvrzení, že $K_2 \subset K_1$ , tak jsem doma, nejsem ale schopen toto okomentovat. Měl by přijít krok, který říká, že
$|a_k| \rho \leq k|a_k|\rho^{k-1}\rho$

Což je vcelku jasné - vidíme omezení posloupnosti. Mně by z toho vyplývalo, že $R_1 \leq R_2$ , dále už bych pokračoval sporem a dokázal, že $R_1 = R_2$ . Nicméně mám problém s tím, že správně to má být obráceně, tj. $R_1 \geq R_2$ , což mi úplně tak nedochází, proč by to tak mělo být. Možná špatně chápu už i tu nerovnost.

Pokud to někomu bude stát za přečtení a poradí, budu rád,
předem děkuji,
Jimmy

found · 17. 08. 2012 10:37

Omlouvám se, došlo mi to deset minut po odeslání, přestože jsem nad tím dříve přemýšlel velmi dlouho... no, snad příliš nevadí, že jsem to tu takhle zazdit, označím to jako vyřešené :)

babel12 · 10. 09. 2012 02:21

mě by zajímalo na co jsi přišel. Mám stejný problém, takže z té nerovnosti jak vidíme, že R_1>=R_2?
Děkuju moc.

found · 10. 09. 2012 09:08 — Editoval found (10. 09. 2012 09:09)

↑ babel12:

Ahoj,

jde o následující věc...

ta nerovnost pro každé kladné k určitě platí - přepíšu ji sem, ať je vidět hned:

$|a_k|\rho^k \leq k|a_k|\rho^{k-1}\rho$

Zvolíme-li $\rho$ takové, že $k|a_k|\rho^{k-1}$ je omezená, potom když tuhle posloupnost vynásobíme nějakým kladným konečným číslem, bude pořád omezená. A díky té nerovnosti to znamená, že je omezená i $|a_k|\rho^k$ .

To jinak řečeno znamená, že bude-li $\rho \in \mathcal{K}_2$ , potom $\rho \in \mathcal{K}_1$ . Na základě téhle úvahy víme, že jsme došli k definici toho, že $\mathcal{K}_2 \subset \mathcal{K}_1$ . Jelikož máme množinu, kde jsou $\rho$ pouze kladná, potom to znamená, že suprema obou množin mohou být stejná (pokud by se množiny rovnali), nebo bude supremum $\mathcal{K}_2$ menší než supremum $\mathcal{K}_1$ . A to znamená nerovnost $R_2 \leq R_1$ .

Edit: Dotaz: Nemáš náhodou taky zítra zkoušku? :D

skoroakvarista · 10. 09. 2012 10:56

Zdravím, my jsme si ukazovali ještě jeden (o dost jednodušší) "důkaz".
Pro derivovanou řadu platí: $R=\lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)a_{k+1}}{ka_k}=\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$ .
Pro nederivovanou řadu platí: $R=\lim_{k \to \infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$ .
Tedy jsou oba poloměry konvergence stejné.

found · 10. 09. 2012 10:58 — Editoval found (10. 09. 2012 11:06)

↑ skoroakvarista:

Ahoj,

tohle je taky jeden ze způsobů, nicméně není úplný. Platí jen pro řady s nenulovými členy. Ten, co jsem popsal, platí i pro řady s nulovými členy, pro které existuje poloměr konvergence. ;)

Navíc tenhle způsob výpočtu je jen limita, musel bys ještě dokázat, že výpočet pomocí podílového kritéria skutečně spočte poloměr konvergence a pro ověření by se hodilo udělat si důkaz i pomocí odmocninového kritéria. Většina z toho tedy není problém, ale pro derivaci obecné mocninné řady pak nemáš dokázané, že se poloměr konvergence zachovává - to je dokázané jen pro členy s kladnými členy. To je jeden z důvodů řešení pomocí definice poloměru konvergence jako suprema množiny $\mathcal{K}$ .

Matematické Fórum

#1 17. 08. 2012 10:28 — Editoval found (17. 08. 2012 10:29)

Důkaz pro derivace mocninné řady

#2 17. 08. 2012 10:37

Re: Důkaz pro derivace mocninné řady

#3 10. 09. 2012 02:21

Re: Důkaz pro derivace mocninné řady

#4 10. 09. 2012 09:08 — Editoval found (10. 09. 2012 09:09)

Re: Důkaz pro derivace mocninné řady

#5 10. 09. 2012 10:56

Re: Důkaz pro derivace mocninné řady

#6 10. 09. 2012 10:58 — Editoval found (10. 09. 2012 11:06)

Re: Důkaz pro derivace mocninné řady

Zápatí