Matematické Fórum

krida · 20. 11. 2008 23:43

Zdravím vás všecky,mužete mně někdo poradit jak řešit integrál $\int {\frac{1}{x^4 + 1} dx}$ , thank u very much

Marian · 20. 11. 2008 23:52

↑ krida:
Uváží se rozklad
$x^4+1=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(x\sqrt{2})^2=(x^2+1-x\sqrt{2})(x^2+1+x\sqrt{2})=(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1).$

Potom se sprovede dekompozice racionální funkce na parciální zlomky. Dostaneš
$\frac{1}{x^4+1}=\frac{1}{(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)}=\frac{2+x\sqrt{2}}{4((x^2+\sqrt{2}x+1))}+\frac{2-x\sqrt{2}}{4((x^2-\sqrt{2}x+1))}.$

krida · 21. 11. 2008 10:57

↑ Marian: Jo dik moc včil už to vypočitám, ale nikdy mě nenapadne si něco přičist a odečist :)

Pavel Brožek · 21. 11. 2008 14:47

↑ krida:

Jiný asi trochu pracnější ale standardnější postup by byl najít kořeny $x^4+1$ , což je zde jednoduché. Jsou to obecně komplexní čísla, ale pokud je nějaký kořen komplexní číslo s nenulovou imaginární částí, je i číslo k němu komplexně sdružené kořenem. Když vynásobíme kořenové činitele těchto dvou sdružených kořenů, dostaneme kvadratický trojčlen s reálnými koeficienty. Tímto způsobem bys dostal samozřejmě stejný rozklad, jako uvedl Marian.

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2008 23:43

Integrál racionální lomená fce

#2 20. 11. 2008 23:52

Re: Integrál racionální lomená fce

#3 21. 11. 2008 10:57

Re: Integrál racionální lomená fce

#4 21. 11. 2008 14:47

Re: Integrál racionální lomená fce

Zápatí