Matematické Fórum

Lordikcz

Ahoj chtěl bych poprosit o vysvětlení vzorce pro výpočet determinantu matice.
$det A=\sum_{j_1,j_2,...,j_n}\varepsilon j_1j_2...j_na_{1j1}a_{2j2}\cdots a_{njn}$

Nějak tomu vzorci vůbec nerozumím. Co je permutace chápu, ale pod tím vzorcem si nepředstavím co dělá.
Jediné co z něj chápu je suma ,ale co se v ní má sčítat už ne. Nevím totiž co má značit malé $a$ běžně se tak značili prvky matice, ale teď jsou u něj tři indexy. Znak $\varepsilon$ by měl být permutačním symbolem , kde pp značí paritu permurtace čož by měl být počet kroků k seřazení posloupnosti. Ale nevím kde vezmu onu základní posloupnost vzhledem které budu počítat počet kroků k jejímu seřazení.

vanok · 22. 08. 2012 15:28

ahoj
tu mas presnu definiciu
http://cs.wikipedia.org/wiki/Levi-Civit%C5%AFv_symbol

Rumburak · 22. 08. 2012 16:11

Ahoj. Tou "základní permutací" je identická permutace $(1, 2, 3, ..., n)$ , z níž můžeme vytvářet další permutace

(1) $(j_1,j_2,...,j_n)$ .

např. pomocí transposic. Transposice je zobrazení (vlastně rovněž permutace), které provádí přesně to, že na dvou určených pozicích
navzájem zamění jejich "obsah".
Takže je-li dána nějaká permutace (1) , lze ji vytvořit ze základní permutatace konečnou posloupností transposic. Posloupností transposic
vytvářejících tímto způsobem ze základní permutace pevně zvolenou permutaci (1) je nekonečně mnoho, avšak není možné, aby ze dvou
těchto poslopností měla jedna lichý počet členů a druhá sudý počet členů. Zda počet transposic vytvářejících permutaci (1) je lichý nebo sudý
závisí na permutaci (1) a podle toho všechny permutace dělíme na liché a sudé. Na základě toho též přídělujeme permutacím "znaménko" :
-1 lichým permutacím, +1 sudým.

Symbol $\varepsilon_{j_1, j_2, ..., j_n}$ je roven znaménku permuce (1).

Podařilo se něco vyjasnit ?

Lordikcz · 22. 08. 2012 17:42

↑ Rumburak:
Ano, tomu co píšete rozumím , jen pořád nevidím to spojení mezi výpočtem determinantu a permutacemi.
Co je při výpočtu determinantu tou identickou permutací? Například pro matici 3x3 by měl obecný výpočet determinantu vypadat takto:
$det A=\sum_{i,j,k=1}^{3} \varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$ .

Nevím jak je to se sumou co má dole 3 indexy jestli se při každé iteraci všechny zvýší o 1 (3 iterace) nebo jestli se vždy zvyšuje hodnota pouze jednoho a při dosažení maximální hodnoty se vynuluje a zvýší se hodnota druhého indexu. (3^3 iterací). $a$ by měly být prvky matice a tak jak to chápu by toto mělo generovat permutace prvků matice. Ale nevím co je pak ta základní permutace abych mohl spočítat počet transpozicí.

$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 17 \\ 8 & 5 & 3 \\ 9 & 2 & 5 \\ \end{array} \right)$

Pro i=j=k=1 bude permutace (1, 8, 9) pro i=j=1,k=2 (1, 8, 2) pro i=j=1,k=3 (1, 8, 5). Ale nevím jestli je to to co se myslí vzorcem jen je to jediné co mě napadá :-(

Rumburak

↑ Lordikcz:
Tak předně: výpočet determinantu podle definice je efektivní nejvýše při řádu 3, u determinantů vyšších řádů se používají metody,
jimiž se úloha postupně převede na výpočty determinantů řádů nižších, tedy nakonec řádu 3 nebo méně.

Proberme tu definici determinantu poněkud pregnantněji, ta vaše opravdu nemusí být srozumitelná někomu, kdo to vidí poprvé.

Permutací množiny $M_n =\{1,2, ..., n\}$ , kde $n$ je přirozemé číslo, nazýváme každé prosté zobrazení množiny $M_n$ na sebe samu.
Množínu všech těchto permutací označme $P_n$ , počet jejích prvků je, jak víme, $n!$ . Permutaci $f\in P_n$ zapisujeme ve tvaru
$(f(1), f(2), ... , f(n))$ resp. $(f_1, f_2, ... , f_n)$ , kde $f_k$ je jen jiný zápis pro $f(k)$ , je-li $k \in M_n$ . Takže např. pro
$f = (3, 1, 2) \in P_3$ je z této konvence patrné, že $f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2$ .
O znaménku permutace $f$ jsme již pojednávali , označme ho $\mathrm{sgn}(f)$ .

Determinantem matice $A= (a_{i,j})$ typu $(n, n)$ pak nazveme číslo

(1) $\det(A) :=\sum_{f\in P_n} \mathrm{sgn}(f) \prod_{k=1}^n a_{k, f(k)}$ , kde $\prod_{k=1}^n a_{k, f(k)} = a_{1, f(1)}\cdot a_{2, f(2)}\cdot ... \cdot a_{n, f(n)}$ .

Součin $a_{1, f(1)}\cdot a_{2, f(2)}\cdot ... \cdot a_{n, f(n)}$ má tu vlastnost, že je v něm každý řádek matice $A= (a_{i,j})$ zastoupen, a to právě jedním
činitelem, a stejnětak i každý sloupec. V celkovém součtu (1) jsou pak zastoupeny právě všechny součiny s touto vlastností (každý právě
jednou a vynásoben znaménkem odpovídající permutace).

Identickou prmutací je vždy permutace $(1, 2, ... , n)$ neboli $f(k) = k$ . Tato permutace vybírá do onoho součinu prvky hlavní diagonály
matice.

V tom vašem vzorci pro n=3 a i=j nebo j=k nebo i=k dostaneme $\varepsilon_{ijk} = 0$ , takže takové členy ze součtu de facto vypadnou.

Lordikcz · 23. 08. 2012 13:20

↑ Rumburak:
Mockrát Vám děkuji za ucelené a vstřícné vysvětlení problematiky. Myslím, že už to chápu hlavně jsem tedy pochopil jak určit znaménko. To znaménko se neurčuje z prvků matice, ale z použité permutace sloupcových indexů.

Rumburak

↑ Lordikcz:
Přesně tak. Doporučuji nahlédnout též např. sem a sem .

Matematické Fórum

#1 22. 08. 2012 12:29 — Editoval Lordikcz (22. 08. 2012 14:13)

Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

#2 22. 08. 2012 15:28

Re: Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

#3 22. 08. 2012 16:11

Re: Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

#4 22. 08. 2012 17:42

Re: Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

#5 23. 08. 2012 10:41 — Editoval Rumburak (23. 08. 2012 12:31)

Re: Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

#6 23. 08. 2012 13:20

Re: Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

#7 23. 08. 2012 15:38 — Editoval Rumburak (23. 08. 2012 15:39)

Re: Definice determinantu pomocí Levi-Civitova symbolu

Zápatí