Matematické Fórum

Marty04 · 26. 08. 2012 15:35

Zdravím, řeším tuto soustavu rovnic.

x - y - 3z = 4

3x + y + 2z = 2

-2x + 2y + 2z = 0

4x - y - 2z = 5

A nějak se mi nedaří to převést přes matici na trojúhelníkový tvar. Začal jsem tak, že jsem první řádek vynásobil -3 a sečetl s druhým, pak jsem vynásobil první 2 a sečetl se třetím, pak první -4 a sečetl se čtvrtým. A pak netuším jak dál. Zadrhl jsem se u matice v tomhle stavu:
1 -1 -3 4
0 4 11 - 10
0 0 -4 8
0 3 10 -11

Říkal jsem si, že bych mohl druhý řádek příčíst k poslednímu a pak první vynásobit sedmičkou a přičíst, také k poslednímu, ale to mi poslední řádek vyjde 7 0 0 7. Prostě nevím, kde tam dělám chybu... :(

teolog · 26. 08. 2012 16:44

↑ Marty04:
Třetí řádek dejte dolů a z něj můžete spočítat již první neznámou.

Marty04 · 26. 08. 2012 19:06

A když je to soustava 4 rovnic o třech neznámých, tak musím mít ve finále tenhle tvar?

1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 4

zuzule · 26. 08. 2012 19:45 — Editoval zuzule (26. 08. 2012 19:50)

Ahoj já bych postupovala ze začátku stejně jako ty, potom bych druhý řádek vynásobila $-3$ a čtvrtý řádek $4$ a sečetla je dohromady a dostaneš
$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -3 & 4 \\ 0 &4 & 11 & -10 \\ 0 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 7 & -14\\ \end{array} \right)$

pak vynásobíš třetí řádek $7$ a čtvrtý řádek $4$ a sečteš je dohromady a dostaneš
$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 11 & -10 \\ 0 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)$

teď ti stačí vytvořit zpátky rovnice a dopočíst neznámé

V Gaussově eliminaci je potřeba dostat matici na trojúhelníkový tvar tzn. pod diagonálou nuly. Pokud vyjde třeba $0=4$ tak soustava nemá řešení

Marty04 · 26. 08. 2012 21:13

$\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -3 & 4 \\ 0 &4 & 11 & -10 \\ 0 & 0 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 7 & -14\\ \end{array} \right)$

Jsem si říkal, že když mi vyšlo tohle, jestli už je možné dosadit, i když nemám poslední řádek vynulovaný, protože mi neznámé vyjdou stejně.

zuzule · 26. 08. 2012 21:37

Určitě by to už z toho šlo neznámé dopočítat :-)

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2012 15:35

Gaussova eliminace (4rovnice o 3 neznámých)

#2 26. 08. 2012 16:44

Re: Gaussova eliminace (4rovnice o 3 neznámých)

#3 26. 08. 2012 19:06

Re: Gaussova eliminace (4rovnice o 3 neznámých)

#4 26. 08. 2012 19:45 — Editoval zuzule (26. 08. 2012 19:50)

Re: Gaussova eliminace (4rovnice o 3 neznámých)

#5 26. 08. 2012 21:13

Re: Gaussova eliminace (4rovnice o 3 neznámých)

#6 26. 08. 2012 21:37

Re: Gaussova eliminace (4rovnice o 3 neznámých)

Zápatí