Matematické Fórum

fffghj · 07. 09. 2012 20:49

Mám takový problém, mám ověřit zda je to funkce proměných $x,y$ :

1) $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

Zjevně, aby to byla funkce, musí platit a) $x_{1}=x_{2} \wedge y_{1}=y_{2} \Rightarrow z_{1}=z_{2}$

Přičemž pro 1) platí:

$z_{1}=\sqrt{4-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}}$
$z_{2}=\sqrt{4-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}}$

Postup:

Zkusím tedy ten předpoklad implikace a) upravovat tak dlouho úpravami zachovávající rovnost, dokud dostanu nebo nedostanu následek:

$x_{1}=x_{2} \wedge y_{1}=y_{2}$

První rovnice krát -1 a obě na druhou:
$-x_{1}^{2}=-x_{2}^{2} \wedge y_{1}^{2}=y_{2}^{2}$

Od první rovnice odečtení $y_{1}^{2}$
$-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=-x_{2}^{2}-y_{1}^{2} \wedge y_{1}^{2}=y_{2}^{2}$

Ve první rovnici vpravo nahrazení $y_{1}^{2}$ za $y_{2}^{2}$ , což lze, jelikož mezi nimi je rovnost.
$-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=-x_{2}^{2}-y_{2}^{2} \wedge y_{1}^{2}=y_{2}^{2}$

Zbavení se se konjukce (pro přehlednost, předpoklad však stále platí, jen přehlednost):
$-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}$

Přičtení k oběma stranám první rovnice +4:
$4-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}=4-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}$

Odmocnění obou stran:
$\sqrt{4-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}}=\sqrt{4-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}}$

Takže to tedy funkce je:
$z_{1}=z_{2}$

Jenže dle výsledků to funkce být nemá. Mám postup (ten postup mě napadl, nevím, že bychom se ho učili) úplně špatně, nebo jen v některém kroku dělám chybu?

Stýv · 07. 09. 2012 21:11

chybu máš hned na začátku - může totiž být i $z_{1}={\color{red}-}\sqrt{4-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}}$

fffghj · 07. 09. 2012 21:57

↑ Stýv:

Ajo, ajo.

Jinými slovy $z^{2}$ když odmocňuju, tak počítat s tím, že výsledek je vlastně $|z|$ .

A jestliže je teda $|z|$ , tak to musím počítat s případem, že je to $z$ nebo $-z$ a už jsem u toho, že existuje více $z$ (tj. $z$ a $-z$ , pokud se $z$ zrovna nerovná nule) pro jeden argument $x,y$

Je to tak?

Jinak ten zbytek postupu se mi pak zdá zbytečný, ale kdybych třeba neodmocňoval (tedy nebyla by tam ta bota na začátku), tak by to byl myšlenkově správný postup?

Stýv · 07. 09. 2012 23:53

když to není funkce, tak z toho nemůžeš dostat tvar z=f(x,y), takže takovejhle postup nemůžeš vůbec provádět. pokud předpis z=f(x,y) najdeš, tak už z toho plyne, že se o funkci jedná

Matematické Fórum

#1 07. 09. 2012 20:49

Ověřit, zda je to funkce

#2 07. 09. 2012 21:11

Re: Ověřit, zda je to funkce

#3 07. 09. 2012 21:57

Re: Ověřit, zda je to funkce

#4 07. 09. 2012 23:53

Re: Ověřit, zda je to funkce

Zápatí