Matematické Fórum

Jake_Buchar · 22. 11. 2008 11:43

Nechť L je lineární prostor všech polynomů nejvýše 2. stupně s obvyklými operacemi.
Rozhodněte, zda jsou následující podmnožiny tohoto prostoru lineárními podprostory
lineárního prostoru L.

Pavel Brožek · 22. 11. 2008 12:31

Tak určitě platí $L_1\subset L$ . Že je $L_1$ vektorový prostor snadno ověříš tak, že z něj vezmeš dva obecné vektory, ty sečteš. Výsledný vektor pak musí bý také z $L_1$ , musí být pro koeficienty polynomu opět splněno $a+b-2c$ . Potom je ještě nutné ukázat, že když vezmeme vektor z $L_1$ , pak po vynásobení reálným číslem je stále z $L_1$ , tedy koeficienty vynásobeného polynomu splňují $a+b-2c$ . Stačí takhle?

Jake_Buchar · 22. 11. 2008 13:10

↑ BrozekP: No spíše by mi pomohlo to trošičku rozepsat :-)

Pavel Brožek · 22. 11. 2008 13:32

Tak si vezmeme dva polynomy z $L_1$ :

$a_1x^2+b_1x+c_1\nl a_2x^2+b_2x+c_2$

platí tedy

$a_1+b_1-2c_1=0\nl a_2+b_2-2c_2=0\nl$

Teď je sečteme

$a_1x^2+b_1x+c_1+a_2x^2+b_2x+c_2=(a_1+a_2)x^2+(b_1+b_2)x+(c_1+c_2)$

Pro koeficienty výsledného polynomu platí

$(a_1+a_2)+(b_1+b_2)-2(c_1+c_2)=(a_1+b_1-2c_1)+(a_2+b_2-2c_2)=0+0=0$ ,

součet dvou polynomů z $L_1$ je tedy opět z $L_1$ .

Zkus si ukázat, že reálný násobek polynomu z $L_1$ bude opět z $L_1$ .

Jake_Buchar · 22. 11. 2008 13:36

↑ BrozekP: Tisíceré díky, už to chápu.

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2008 11:43

Lineární prostory a podprostory

#2 22. 11. 2008 12:31

Re: Lineární prostory a podprostory

#3 22. 11. 2008 13:10

Re: Lineární prostory a podprostory

#4 22. 11. 2008 13:32

Re: Lineární prostory a podprostory

#5 22. 11. 2008 13:36

Re: Lineární prostory a podprostory

Zápatí