Matematické Fórum

fffghj · 08. 09. 2012 23:49

Opět si nevím rady, jen malé popoušťochnutí prosím, ne prosím kompletní výpočet:

Mám vypočítat, pokud existuje tuto:

$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1}{x^{4}+y^{4}}e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}}$

Bati · 09. 09. 2012 00:52 — Editoval Bati (09. 09. 2012 00:53)

Opět lze převést do polárních souřadnic a pak použít větu o limitě složené funkce na $\frac1{r^2}$ .

fffghj · 09. 09. 2012 01:23 — Editoval fffghj (09. 09. 2012 01:48)

↑ Bati:

No, nějak se nechytám.

Do polárních souřadnic jsem to snad zvládl:

$\lim_{r\to0+}\frac{e^{-\frac{1}{r^{2}}}}{r^{4}(cos^{2}(\varphi)+sin^{2}(\varphi))}$

Vůbec ale nechápu, jak mám užít větu o limitě složené funkce. Pokud jsem ji našel správně:

Hned na začátku strany 5 zde: http://kma.me.sweb.cz/lim+spoj-funkce.pdf (věta 11).

Našel jsem ji dobře?

Má být ta první funkce a její limita (značení mám dle té věty z toho odkazu, záměna pouze $x$ za $r$ ):

$f(r)=\frac{1}{r^{2}}$

$\lim_{r\to0+}\frac{1}{r^{2}}=\infty$ ?

Bati · 09. 09. 2012 02:02 — Editoval Bati (09. 09. 2012 02:09)

My ale známe limity těch dvou funkcí.
Ty gon. fce mají být mimochodem na čtvrtou, ne na druhou.
$\lim_{r\to0^+}\frac{e^{-\frac{1}{r^{2}}}}{r^{4}(\cos^{4}{\varphi}+\sin^{4}{\varphi})}=\lim_{r\to0^+}\frac{1}{\cos^{4}{\varphi}+\sin^{4}{\varphi}}\cdot\frac{(\frac1{r^2})^2}{e^{\frac{1}{r^{2}}}}$
Nyní naše vnitřní funkce: $g(r)=\frac1{r^2}\quad\lim_{r\to0^+}{g(r)}=\infty$
Vnější funkce: $f(y)=\frac{1}{\cos^{4}{\varphi}+\sin^{4}{\varphi}}\cdot\frac{y^2}{e^y}\quad\lim_{y\to\infty}{f(y)}=0$
Tudíž i $\lim_{r\to0^+}{f(g(r))}=0$
(platí podmínka P; $\cos^{4}{\varphi}+\sin^{4}{\varphi}\in[0,2]$ ; $\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{p\in\mathbb{R}}}{e^x}}=0$ )