Matematické Fórum

Zlatohlavok · 10. 09. 2012 13:21

Ahojte, mák tu vyriešený príklad, snažím sa ho pochopiť. Prečo ten počítajúci najskôr písal >> a potom pod tým <<

Nestačilo vyčítať z prvého riadku kde je >> 1/7 E 1/n^2 , že je rad konvergentný?
Prečo pod tým počítal >> , kde došiel k 5 E 1/n^2 - konvergentný

Diky

drabi · 10. 09. 2012 13:28

↑ Zlatohlavok:
Ahoj,
z prvního řádku by to nešlo, protože původní řadu odhaduješ zdola.
Druhý řádek je tam proto, že tu řadu odhaduješ shora a platí, že
$5 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} > \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 + 4}{n^5+4n^2+2} > \frac17 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
takže původní sumu máš omezenou shora i zdola konvergentními řadami a tudíž ta tvoje suma konverguje:)

Zlatohlavok · 10. 09. 2012 13:57

A prečo napríjlad v tomto, takmer totožnom príklade sa počíta len >> ? Celkom tomu nerozumiem.

Geronimo · 10. 09. 2012 14:24

Existuje k tomu srovnavaci kriterium.

Vic treba zde (str. 41).

V podstate se jedna o to, ze kdyz mas ciselnou radu ( $\sum a_n$ ) s nezapornymi cleny, tak pokud chces ukazat, ze konverguje, tak hledas takovou ciselnou radu ( $\sum b_n$ ) s nezapornymi cleny, aby platilo, ze $a_n \leq b_n$ a zaroven rada $\sum b_n$ konvergovala.

Pokud naopak chces ukazat, ze rada diverguje, tak musis najit takovou ciselnou radu s nezapornymi cleny, aby platilo, ze $a_n \geq b_n$ a rada $\sum b_n$ divergovala.

V tom prvnim pripade se autor snazil ukazat, ze diverguje, ale nakonec zjistil, ze rada konverguje. Proto se nejprve snazi radu ohranicit zezdola divergentni radou, ale nedari se mu to.

V druhem pripade se snazi jiz od zacatku ukazat, ze rada konverguje a to se mu dari. Nasel radu, ktera konverguje a ohranicuje puvodni radu shora.

found · 10. 09. 2012 14:35

Ahoj,

v tom zápise mi přijde, že je i pár rovností, které by tam být neměly, nicméně se možná pletu. K zápisu jsi zde už vysvětlení dostal.

Anyway... když od členu odečteš čtyřku, bude bez pochyb menší. Když od každého odečteš čtyřku, bude ještě o to menší. Proto ta první nerovnost (jestli chápu dobře, že se jedná o nerovnost).

Má soukromá poznámka: Podobné příklady se ale nejlépe řeší pomocí limitního srovnávacího kritéria. Řada se dá ihned srovnat se řadou se členy $n^{-2}$ a ta konverguje. Na to je zase nejsnazší způsob integrální kritérium (když konverguje integrál, konverguje i řada).

$\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^\infty = 1$

no a díky tomu bychom to měli hned s ušetřením si zápisu. :) Ale to je jen tak navíc, jak bych to řešil já.

Matematické Fórum

#1 10. 09. 2012 13:21

Rad

#2 10. 09. 2012 13:28

Re: Rad

#3 10. 09. 2012 13:57

Re: Rad

#4 10. 09. 2012 14:24

Re: Rad

#5 10. 09. 2012 14:35

Re: Rad

Zápatí