Matematické Fórum

niko9 · 13. 09. 2012 22:34

zdravím chtěl bych vás poprosit o pomoc s řešením tohoto příkladu. Vůbec si s ním nevím rady.. napadlo mě celou rovnici vydělit budto x nebo y, ale to asi nic neřeší.. děkuji

pro která čísla $x, y \in R$ platí nerovnost $xy < x/y$ ?

Geronimo · 13. 09. 2012 22:42

Zkus vynasobit nerovnici $y$ , avsak uvedom si, jake pripady mohou nastat ( $y<0, y>0$ ).

$xy^2<x$ muzeme prepsat do tvaru $xy^2-x<0$ , vytkneme $x(y^2-1)<0$ a dale upravime $x(y-1)(y+1)<0$ . Dal zkus pokracovat sam...

niko9 · 13. 09. 2012 23:11

díky za pomoc ten rozklad chápu, ale stejně nevím jak se dostat k výsledku.. mohl by jsi mi prosím napsat další krok ?

user · 13. 09. 2012 23:12

Také je možná úprava
$\frac{x}{y}-xy>0$
$\frac{x(1-y^2)}{y}>0$

Není to ale nic nového, pouze jiný zápis postupu Geronima, takže záleží, co ti víc vyhovuje.

Geronimo · 13. 09. 2012 23:23

Necht $y>0$ , potom tedy plati to co jsem rozepsal: $x(y-1)(y+1)<0$

Aby tento soucin byl zaporny, musi obsahovat lichy pocet zapornych clenu.

Dale si vsimneme, ze dulezitym bodem je $y=1$ . V tomto bode je prava strana rovna nule.
Tento bod nam rozdeli kladne hodnoty na dva intervaly $(0,1) \union (1,\infty)$ .

Pokud $y \in (0,1)$ , potom $(y-1)<0$ a $(y+1)>0$ . Jak jsem jiz vyse napsal, zapornych clenu musi byt prave lichy pocet, a proto $x \in (0,\infty)$ . Tedy pro $y \in (0,1): x \in (0,\infty)$ .

Pokud $y \in (1,\infty)$ , potom $(y-1)>0$ a $(y+1)>0$ . Tedy $x \in (-\infty,0)$ . Tedy pro $y \in (1,\infty): x \in (-\infty,0)$ .

Ted jeste musis vyresit variantu $y<0$ a dat to nejak do kupy.