Matematické Fórum

etchie · 21. 09. 2012 09:39

Ahojte,

narazil som na takýto príklad na relácie a snažím sa ho pochopiť:

Relace $>$ na množině reálných čísel není uspořádání. Není reflexivní, neboť $a>a$ neplatí pro žádné reálné číslo. Podmínky antisymetrie a tranzitivity však splňeny jsou (oveřte).

Tranzitivita je jasná, pre antisymetriu platí:

Relace R na množině A se nazývá antisymetrická, jestliže z platnosti $aRb$ a $bRa$ vyplývá $a=b$ .

Ako ale z $(a>b) \wedge (b>a)$ vyplýva $a=b$ ?
Mne z toho teda vyplýva pravý opak. Mám ale nejasné tušenie, že tu asi ide o implikáciu, ktorej zatiaľ poriadne nerozumiem a možno v tom je celý problém.

Ďakujem za pomoc

Blackflower · 21. 09. 2012 10:12

Ak platí $a>b$ , tak si povedzme, že $a=b+k$ . Naopak, ak $b>a$ , dajme tomu, že $b=a+m$ .
Teraz si napríklad za a v druhej rovnici dosadíme vyjadrenie a v prvej :
$b=(b+k)+m$ , z toho vyplýva, že $-k=m$ .
Analogicky dosadíme b z druhej rovnice do prvej:
$a=(a+m)+k$ , teda z toho vyplýva, že $-m=k$ .
Z rovníc, ktoré určujú vzťah medzi k a m vyplýva, že buď sú obidve nulové alebo jedno je záporné. No keby sme dosadili napríklad za k v prvej rovnici záporné číslo, bolo by jasné, že a nemôže byť väčšie ako b. Takisto v druhej rovnici. Teda $k=m=0$ , teda $a=b$ .

Trochu dlhý dôkaz, ale dúfam, že aspoň zrozumiteľný. :)

etchie · 21. 09. 2012 11:15

↑ Blackflower:

ďakujem za dôkaz

ako ale "stráviť" resp. dať do súladu ten dôkaz zo "selským" rozumom ?
ak si zvolím nejaké $a$ povedzme 5 a platí $a=b$ potom píšem $5 > 5$ a zároveň $5 < 5$ , čo je to isté.
to ale neplatí, pretože platí 5 = 5.
...
no a teraz, keď to píšem to docvaklo...
super. :-)