Matematické Fórum

Když si matici X napíšeme jako matici o 3 sloupcích a 4 řádcích obsahující 12 neznámých a vypočítáme AX, dostaneme matici 3x3, která se má rovnat B, což je soustava devíti rovnic o 12 neznámých. My teď najdeme způsob, jak si její řešení usnadnit.

Když levou i pravou stranu rovnice AX=B vynásobíme zleva maticí C typu 3x3, která odpovídá nějaké řádkové úpravě, rovnost zůstane zachována a protože taková matice C je jistě regulární, je taková úprava ekvivalentní. Když chceme dvě matice současně násobit stejnou maticí (tzn. udělat v nich stejnou řádkovou úpravu), děláme to většinou tak, že je zapíšeme vedle sebe jako A|B a upravujeme celou matici.
1 1 4 -1|1 2 3
3 1 3 0| -3 1 2
2 0 1 -1|2 -3 1

Od druhého řádku odečteme první a třetí:

1 1 4 -1|1 2 3
0 0 -2 2|-6 2 -2
2 0 1 -1|2 -3 1

Od třetího řádku odečteme dvakrát první, druhý vydělíme dvěma a druhý s třetím prohodíme.

1 1 4 -1|1 2 3
0 -2 -7 1|0 -7 -5
0 0 -1 1|-3 1 -1

Pokud řádky matice x jsou x1,x2,x3,x4, z poslední rovnice máme -x3+x4=(-3,1,-1). Zvolme x4=(0,0,0). Pak x3=(3,-1,1).
Ze druhé rovnice -2x2-7x3+x4=(0,-7,-5). Po dosazení -2x2=(21,-14,2), x2=(-21/2,7,-1). Z první rovnice podobně dopočteme x1:
x1=(1,2,3)-x2-4x3-1x4=(-1/2,-1,0).