Matematické Fórum

LOOSERmanner

Mám tu zajímavou slovní úlohu se kterou se mi nedaří hnout :(

Uvnitř kružnice k o poloměru r = 13 cm je bod P vzdálený od středu S kružnice k 5 cm. Bodem P je vedena tětiva AB délky 25. Mám určit délku úseček, na které je rozdělena tětiva AB bodem P.

Myslím, že kdo s tím hne je C()()L !

Hanis · 22. 09. 2012 18:28

Ahoj,

označme:
$|AB|=c$
$|SP|=z$
$\sphericalangle SAP=\alpha$
$|AP|=x$

Pak platí 2 cosinové věty:

$r^2=r^2+c^2-2rc\cos\alpha$
$z^2=r^2+x^2-2rx\cos\alpha$

Z první rovnice vyjádříš cosinus, dosadíš do druhé a dopočteš x.
Možná to půjde řešit i jednodušeji, ale tohle byl můj první nápad.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

LOOSERmanner · 22. 09. 2012 18:45

↑ Hanis:

To jistě, přes cosinové věty snadné, ale co když je v zadání Pythagorova věta? Zatím všechny soustavy rovnic vyšly v chybný výsledek :-(

Anakin_The_Teralian · 22. 09. 2012 18:58

↑ LOOSERmanner:
Pokud jsem to pochopil spravně zadání, tak by se dalo uplatnit pravidlo, že součet dvou stran v trojuhelníku je vždy větší než jeho třetí strana. AP by tedy mělo být menší než 18.

jelena · 22. 09. 2012 19:01

Zdravím v tématu,

ještě se dá uplatnit, že poloměr procházející kolmo tětivě, dělí tětivu na poloviny - pokud je požadována Pythagorova věta.

Může být? Děkuji.

Tychi · 22. 09. 2012 19:04 — Editoval Tychi (22. 09. 2012 19:04)

Soustavy?
Vedu přímku r, kolmo k úsečce AB středem S. Průsečík AB a r označím X.
Z trojúhelníku AXS spočtu pythágorkou $|XS|$
Z trojúhelníku PXS pak už snadno opět pythágorkou $|PX|$ .
Zbývá jen dopočtat $|AP|$ a $|PB|$ .

Jelena mě předběhla..(o: