Matematické Fórum

Simon P40 · 24. 09. 2012 02:32

mam tuhle nerovnici

$\frac{1}{2}^{|x^{2}-1|}\le \frac{1}{8}$

uplne si nejsem jisty postupem:
1) zjistim si nulove body - 1 a -1
2) urcim znamenko u x v intervalech $(-\infty ;-1\rangle$ , $(-1 ;1)$ , $\langle1;\infty )$
3 ve vysledku by mi stejne v kazdem intervalu vyslo $x^2$ kladne
4) a ted uz nevim

diky za rady

Oxyd · 24. 09. 2012 02:41

Ta nerovnice má být takhle? $\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|x^2 - 1\right|} \le \frac{1}{8}$

K postupu: $x^2$ sice bude vždycky nezáporné, ale $x^2 - 1$ se může dostat i pod nulu (to se stane přesně na tom intervalu (-1, 1)). Rozdělíš teda řešení na dva případy – jeden, když je $x^2 - 1 \ge 0$ , tzn. když je $x \in (-\infty, -1\rangle \cup \langle 1, +\infty)$ , a druhý, když je $x^2 - 1 < 0$ , tzn. když je $x \in (-1, 1)$ . Na každém z těhle intervalů můžeš absolutní hodnotu odstranit a řešit to jako exponenciální nerovnici.

zdenek1 · 24. 09. 2012 07:26

↑ Simon P40:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|x^2 - 1\right|} \le \frac{1}{8}$
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|x^2 - 1\right|} \le\left( \frac{1}{2}\right)^3$
$|x^2-1|\ge3$ (základ je mezi nulou a jedničkou -> otáčíme nerovnost) obě strany nerovnice jsou nezáporné -> umocníme na druhou
$(x^2-1)^2-3^2\ge0$ vzorec $a^2-b^2$
$(x^2-1-3)(x^2-1+3)\ge 0$
$(x^2-4)(x^2+2)\ge 0$
atd.

Simon P40 · 24. 09. 2012 10:37

↑ Oxyd:↑ zdenek1:
dosadil jsem za x 1 pro prvni sjednoceni intevalu a 0 z druheho intervalu
ani v jednom pripade nerovnice neplatila... nevim proc...
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|1^2 - 1\right|} \le \frac{1}{8}$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{0} \le \frac{1}{8}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|0^2 - 1\right|} \le \frac{1}{8}$ $\left(\frac{1}{2}\right)^{1} \le \frac{1}{8}$

↑ zdenek1:
diky, to vypada zajimave
takze mi vyjde 5 intervalu, z kazdeho tam dosadim hodnotu a zda-li nerovnice s tou hodnotou plati, tak je interval soucasti reseni
reseni pak tedy bude $(-\infty ;-2\rangle\cup \langle-2;\infty )$ ?

diky

Rumburak · 24. 09. 2012 10:52

↑ Simon P40:

takze mi vyjde 5 intervalu, z kazdeho tam dosadim hodnotu a zda-li nerovnice s tou hodnotou plati, tak je interval soucasti reseni

???

Kolega ↑ zdenek1: se dostal ekvivalentními úpravami k nerovnici $(x^2-4)(x^2+2)\ge 0$ , kterou můžeme vydělit
kladným výrazem $x^2+2$ a dostaneme tak $x^2-4\ge 0$ , což už velmi jednoduše vede k výsledku

$x \in (-\infty ;-2\rangle\cup \langle 2;\infty )$ .

Simon P40 · 24. 09. 2012 13:09

aha, ja to chtel udelat 0 body - $-2; -1; 1; 2$ a na zaklade nich intervaly:

$(-\infty ;-2\rangle$
dosadím třeba $-3$ :
$(x^2-4)(x^2+2)\ge 0$
$5*11\ge 0$ - plati

$\langle-2;-1\rangle$
dosadim treba $-1$ :
$(x^2-4)(x^2+2)\ge 0$
$(-3)(3)\ge 0$ - neplati

$\langle-1;1\rangle$
... neplati

$\langle1;2\rangle$
... neplati

$\langle2;\infty )$
... plati

jinak to vydeleni je taky pekny, pak se to zjednodussi. no diky