Matematické Fórum

Marc27 · 26. 09. 2012 10:28

Ahoj, mohl by mi někdo, prosím, říci, zda mám správný postup u tohoto důkazu?
Mám dokázet, že $\sqrt[n]{2}$ je iracionální číslo pro každé přirození číslo $n\ge 2$ .
Dokazoval bych sporem- beru tedy že $\sqrt[n]{2}\in Q$ , čili jej lze vyjadřit ve tvaru $\sqrt[n]{2} = \frac{p}{q}; p,q\in Z \wedge q \not = 0$ a čísla p,q jsou nesoudělná. Umocním-li celý výraz $n$ , dostanu $2 = \frac{p^{n}}{q^{n}} \Leftrightarrow 2q^{n} = p^{n}$ , čili $p^{n}$ je sudé číslo. když si označím, že $p = 2k$ dostanu $2q^{n} = (2k)^{n} = 2^{n}p^{n}$ a po vydělení výrazem 2 dostanu $q^{n} = 2^{n-1}p^{n}$ , čili $q^{n}$ je také sudé číslo a $p,q$ jsou tudíž soudělná, čímž jmse došli ke sporu

vanok · 26. 09. 2012 10:35

↑ Marc27:,
Ano, dobry postup.
Pripadne na skuske, po dokaze by si mohol mat naviac tuto malu otazku:
Dokazte: $2|p^n$ => $2|p$

Marc27 · 26. 09. 2012 10:43

↑ vanok:
Děkuji. Tady bych postupoval přímým důkazem?

Rumburak

↑ Marc27:

Číslo 2 je prvočíslo, takže pro přirozená čísla $a, b$ platí: $2 | (ab) \Rightarrow (2 | a \vee 2 | b)$ .
Dále se použije princip indukce .

Marc27 · 26. 09. 2012 10:56

↑ Rumburak:
A šlo by to také njepřímým důkazem(dokázat obměnu)?

Rumburak

↑ Marc27:
Domnívám se, že každý přímý důkaz (dokazujeme-li implikaci) lze přeformulovat tak, aby se jevil jako nepřímý.

Marc27 · 26. 09. 2012 11:06

↑ Rumburak:
Dobrá,moc děkuji za pomoc ;-)

check_drummer · 27. 09. 2012 02:10

Ahoj,
může být vhodné dokázat, že pro libovolná přirozená m,n je $\sqrt[n]{m}$ racionální, právě když je přirozené. Pak je tvrzení, kterým se zabýváme, zřejmé, protože uvedená odmocnina leží mezi 1 a 2.

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2012 10:28

Důkaz iracionality

#2 26. 09. 2012 10:35

Re: Důkaz iracionality

#3 26. 09. 2012 10:39 Příspěvek uživatele Rumburak byl skryt uživatelem Rumburak. Důvod: Duplicitní odpověď

#4 26. 09. 2012 10:43

Re: Důkaz iracionality

#5 26. 09. 2012 10:52 — Editoval Rumburak (26. 09. 2012 10:59)

Re: Důkaz iracionality

#6 26. 09. 2012 10:56

Re: Důkaz iracionality

#7 26. 09. 2012 11:02 — Editoval Rumburak (26. 09. 2012 11:06)

Re: Důkaz iracionality

#8 26. 09. 2012 11:06

Re: Důkaz iracionality

#9 27. 09. 2012 02:10

Re: Důkaz iracionality

Zápatí