Matematické Fórum

martin.n · 28. 09. 2012 20:35

Ahojte, mám otázku na výpočet limity racionálnej funkcie, idem zo skrípt Matematická analýza v příkladech 1 (Pošta, FJFI ČVUT):

je tam riešený príklad

$\lim_{x\to0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1+6x+O(x^2)-1}{x}=\lim_{x\to0}6+O(x)=6+0=6$

s komentárom:
Stačí upraviť a skrátiť. Nemusí sa však počítať všetko v čitateli, stačí spočítať lineárny člen, pretože z ostatných bude nula. Symbolmi $O(x^2)$ resp. $O(x)$ označíme výrazy, v ktorých sú členy 2. rádu a vyššie, resp. 1. a vyššie.

Ja by som to riešil takto:

$\lim_{x\to0}\frac{1+6x+11x^2+6x^3-1}{x}=\lim_{x\to0}6+11x+6x^2=6$

No a z toho je jasné, že $O(x^2)$ požere členy $11x^2+6x^3$

Existuje nejaký postup alebo vzorec, podľa ktorého sa vypočíta práve lineárny člen, alebo práve kvadratický člen (nasledujúci príklad)?
Inak v tom neviem nájsť zmysel, niečo roznásobiť a potom skryť, možno pre prehladnosť, ale....

$\lim_{x\to0}\frac{(1+3x)^4-(1+4x)^3}{x^2}$

Napríklad tuto roznásobovať čitateľ je menej komfortné, pričom podľa "návodu" by stačilo len do druhého rádu, ostatné by sa skrylo do $O(x^3)$

Stýv · 28. 09. 2012 21:59

existuje binomická věta. a taky můžeš prostě násobit jenom to, co ti dá členy požadovanýho stupně (např. v prvním příkladě nemusíš počítat x*2x*3x apod.)

user · 28. 09. 2012 23:01

Možný postup, napíšeš si všechny závorky (na začátku vhodné, při troše cviku nemusíš) vedle sebe a násobíš "každý s každým", přičemž při výběru s jakým členem dál násobíš se vždy omezíš na členy které nepřesáhnou tebou požadovanou mocninu. Pokud bys tím danou mocninu přesáhl, tak spadne do O(x^n).
Je potřeba si pro to vymyslet nějaký systém, abys na žádné členy nezapomněl.

Mnou výše napsané platí pro násobení obecných závorek, při umocňování je situace jednodušší. Stačí využít binomickou věty a omezit se na členy, které potřebuješ.

martin.n · 30. 09. 2012 10:20

Ďakujem vám páni, binomická veta je fajn vec :)

Matematické Fórum

#1 28. 09. 2012 20:35

Limita racionálnej funkcie

#2 28. 09. 2012 21:59

Re: Limita racionálnej funkcie

#3 28. 09. 2012 23:01

Re: Limita racionálnej funkcie

#4 30. 09. 2012 10:20

Re: Limita racionálnej funkcie

Zápatí