Matematické Fórum

Fhact0r · 30. 09. 2012 14:41

Na zaklade tvrzeni $\forall a,b\in \mathbb{R}, a>1,b<1:a+b>ab+1$ dokazte tvrzeni:
necht $x_1,\ldots , x_n$ jsou kladná čísla taková, aby platilo $x_1x_2\ldots x_n=1$ , pak $x_1+x_2+\ldots +x_n\ge n$ .

Vubec nevim, kde zacit - nejaky hint? Dik moc.

kompik · 30. 09. 2012 15:27

Skusil by som indukciu. Pozrime sa na krok od n k (n+1).

Mame $x_1\dots x_nx_{n+1}=1$ .

Ak su vsetky, cisla rovne 1, tak tvrdenie plati.

Inak tam musi byt jedno z nich vacsie ako 1, jedno z nich mensie.
Bez ujmy na vseobecnosti nech $x_n>1$ a $x_{n+1}<1$ .

Z indukcneho predpokadu mame $x_1+\dots+x_nx_{n+1}\ge n$ .
Pomocne tvrdenie by malo pomoct dokoncit indukcny krok.

Je to zhruba rovnaky dokaz ako dokaz AM-GM nerovnosti indukciou uvedeny na Wikipedii.

Fhact0r · 30. 09. 2012 22:13

↑ kompik:
Dik, pomohlo.

Matematické Fórum

#1 30. 09. 2012 14:41

Dukaz

#2 30. 09. 2012 15:15 Příspěvek uživatele kompik byl skryt uživatelem kompik. Důvod: Chyba

#3 30. 09. 2012 15:27

Re: Dukaz

#4 30. 09. 2012 22:13

Re: Dukaz

Zápatí