Matematické Fórum

bejf · 03. 10. 2012 14:40

Ahoj, tak si zas lámu hlavu nad dalším výrazem.

$[\frac{1-a^{2}}{(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a})(\frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a})}+1]*\sqrt{1-a^{2}}$

Nejdřív ve jmenovateli prvního činitele vypočítám závorky - tj. usměrním, odmocniny z "a" převedu na společného jmenovatele, čímž dostanu:

$=[\frac{1-a^{2}}{(\sqrt{a}+1)^{2}(\sqrt{a}-1)^{2}}+1]*\sqrt{1-a^{2}}\nl=[\frac{1-a^{2}}{(a-1)^{2}}+1]*\sqrt{1-a^{2}}\nl=[\frac{1-a^{2}+(a-1)^{2}}{(a-1)^{2}}]*\sqrt{1-a^{2}}$

A dál popravdě nevím úplně jistě. Mohl bych vytknout mínus z $(a-1)^{2}$ a pak $1-a^{2}$ rozložit na součin. Pak se mi zkrátí $1-a$ a zbyde:

$[\frac{1+a-(1-a)^{2}}{1-a}]*\sqrt{1-a^{2}}$

No, ale to si teda nejsem už vůbec jistej. :D

Rumburak · 03. 10. 2012 16:51

↑ bejf:

Ahoj.

Z výrazu $(a-1)^{2}$ se minus vytklnout nedá, protože tím, že "projde druhou mocninou" , se změní na plus, takže
bez problémů platí $(a-1)^{2}= (1-a)^{2}$ .

V čitateli zlomku $\frac{1-a^{2}+(a-1)^{2}}{(a-1)^{2}}$ je možno buďto provést naznačené umocnění dvojčlenu a sloučit s ostatním
nebo $1-a^2$ rozložit a pak vytknout $1-a$ . Obojí povede k vykrácení zlomku.

bejf · 03. 10. 2012 19:46 — Editoval bejf (03. 10. 2012 20:46)

↑ Rumburak:

Aha dobře, děkuju.

Potom tedy dostávám:

$=\frac{(1+a)(1-a)+(1-a)^{2}}{(1-a)^{2}}*\sqrt{1-a^{2}}\nl =(1+a+1-a)*\sqrt{1-a^{2}}\nl =2\sqrt{1-a^{2}}$

Je tak? Učebnice ale uvádí výsledek $2 \text{ pro }0<a<1, -2\text{ pro }a>1$ , jak se k tomu dopracuji?

Rumburak · 04. 10. 2012 09:31

↑ bejf:

Ve vykrácení zlomku máš chybu : ve jmenovateli mělo zůstat 1-a .
Ani tak to ale nedá výsledek "z učebnice" , je tedy možné, že k nějaké chybě došlo též v předchozích úpravách.

Honzc · 04. 10. 2012 10:41 — Editoval Honzc (04. 10. 2012 13:41)

↑ bejf:
Tak to bude ve výsledku chyba.
Jednak $a>1$ je nesmysl, neboť výraz má smysl pouze pro $a\in \left< 0, 1\right)$ a za druhé
po úpravě výrazu vyjde $...=2\sqrt{\frac{1+a}{1-a}}$ , což dává výsledek $2$ pouze pro $a=0$