Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 10. 2012 19:30

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

transcendentní číslo

Ahoj, nějak jsem se zasekla u jednoho příkladu, který máme za úkol.

Dokažte, že je-li číslo $a$ transcendentní, pak je číslo $\sqrt{a}$ také transcendentní

nějak mě moc nenapadá, jak na to jít.. koukala jsem se různě po netu a narazila akorát na toto.
Pak jsem přemýšlela nad tím, jestli to nedokazovat nepřímo, že :
$\sqrt{a}$ je algebraické, pak i $a$ je algebraické.
Akorát jsem s tím nijak nehnula. Mohl by mi prosím někdo poradit? Díky

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) drabi)

#2 05. 10. 2012 23:40

check_drummer
Příspěvky: 4677
Reputace:   102 
 

Re: transcendentní číslo

↑ drabi:
Ahoj, netvoří náhodou algebraciké prvky těleso? A pokdu ano, tak jsou tedy uzavřené na součin...


"Máte úhel beta." "No to nemám."

Offline

 

#3 06. 10. 2012 08:56

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: transcendentní číslo

↑ check_drummer:
ahoj, to je možné, ale tuto teorii k dispozici momentálně nemám, přednáška je skoupá na informace:(
Nenapadá tě jiný způsob?

Offline

 

#4 06. 10. 2012 13:41

jarrro
Příspěvky: 5469
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: transcendentní číslo

stačí ukázať ,že ak je nejaké číslo koreňom polynómu s racionálnymi číslami tak aj jeho mocnina je koreňom polynómu s racionálnymi číslami
napr. pomocou resultantu
konkrétne polynóm s koreňom mocniny (nie nutne minimálny) bude
$Q{\(t\)}=\mathrm{Res}{\(P{\(x\)}, x^{\mathrm{deg}{\(P\)}}P{\(\frac{t}{x}\)}, x\)}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#5 07. 10. 2012 13:37 — Editoval drabi (07. 10. 2012 13:37)

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: transcendentní číslo

↑ jarrro:
ahoj, díky za reakci.
Koukám teď na to a trochu se v tom ztrácím, pravděpodobně to nějak špatně chápu.
Co se týče definice, tak se tam píše, že
$\text{res}(P,Q) = \prod_{(x,y): P(x) = Q(y) = 0} (x-y)$
takže například pro tyto polynomy:
$P(x) = x-2$
$Q(y) = y^2 + 3y - 4$
by byl $\text{res}(P,Q) = (2-1)(2-(-4)) = 6$
když jsem se koukala i na další wiki odkaz, tak tam se definuje, pomocí determinantu, takže pro náš konkrétní případ:

$\text{res}(P,Q) = 
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 0 & 0  \\
1 & 3 & -4 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 3 & -4 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 3 & -4 \\
 \end{vmatrix}  = -64$

musela jsem to nějak špatně pochopit, mohl bys mi s tím prosím pomoct?

Offline

 

#6 07. 10. 2012 14:15 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 14:54)

jarrro
Příspěvky: 5469
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: transcendentní číslo

tá matica má byť takto
$\text{res}(P,Q) = 
\begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \\
0 & 1 & -2\\
1 & 3 & -4\\
 \end{vmatrix}$
a napr.
pre prípad racionálneho čísla a
je daný polynóm v tvare resultantu
$Q{\(t\)}=\mathrm{Res}{\(x^2-a,x^2\(\(\frac{t}{x}\)^2-a\),x\)}=\mathrm{Res}{\(x^2-a,-ax^2+t^2,x\)}=\nl =\(\sqrt{a}-\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}\)\(\sqrt{a}+\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}\)\(-\sqrt{a}-\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}\)\(-\sqrt{a}+\frac{\left|t\right|}{\sqrt{a}}\)=\(a-\frac{t^2}{a}\)^2$
podobne aj pre neracionálne a len miesto polynómu druhého stupňa vziať minimálny(nemusí byť, stačí ľubovoľný s racionálnymi koeficientami, ale zase brať polynóm stupňa milión miesto napr. 4 by bolo odveci) polynóm odmocniny z a. Prípadne sa môže vymeniť t s x, aby výsledný polynóm bol v premennej x, ale to je už len o estetike a nie o logike či matematike


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#7 07. 10. 2012 14:24

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: transcendentní číslo

↑ jarrro:
jo jasně, takže ale pak to vychází -6, takže
místo
$\text{res}(P,Q) = \prod_{(x,y): P(x) = Q(y) = 0} (x-y)$
by to mělo být
$\text{res}(P,Q) = \prod_{(x,y): P(x) = Q(y) = 0} (y - x)$

Offline

 

#8 07. 10. 2012 14:39 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 14:43)

jarrro
Příspěvky: 5469
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: transcendentní číslo

↑ drabi:opravil som $-2$ miesto 2 koeficienty sa berú spolu so znamienkom


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#9 07. 10. 2012 17:16 — Editoval vanok (07. 10. 2012 17:18)

vanok
Příspěvky: 14482
Reputace:   742 
 

Re: transcendentní číslo

Ahoj ↑ drabi:,
Co sa tyka dokazu tvojej vety
je-li číslo $a$ transcendentní, pak je číslo $\sqrt{a}$ také transcendentní
v kontrapoznej forme
$\sqrt{a}$ je algebraické, pak i $a$ je algebraické

som napisal tu
malu poznamku co by ta mohla zaujimat... a to specialne #131.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Offline

 

#10 07. 10. 2012 18:02

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: transcendentní číslo

↑ jarrro: ↑ vanok:
děkuji vám oběma, už je mi to jasné:)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson