Matematické Fórum

Kriss33

Mám taký problém, totiž na hodine náš p. učitel išiel príliš rýchlo a trochu som mu nestíhal, problém je v tom, že mám zjednodušiť:
f(x)= cos x + cos 2x + cos 3x + ... + cos 100x
z tohoto sa nejak dostal na
$\mathrm{e}^{ix} + \mathrm{e}^{2ix} + \ldots +\mathrm{e}^{100ix}$
potom, ale tomuto kroku relativne rozumiem:
$\mathrm{e}^{ix}(\frac{1-\mathrm{e}^{99x}}{1-\mathrm{e}^{ix}})=\frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{100ix}}{1-\mathrm{e}^{ix}}$
a z tohoto, neivem ako, na:
$\frac{\sin \frac{x}{2}-\sin 50x}{-2\sin \frac{x}{}}$
Je možné, že som to opísal zle, bol som z toho dosť vyhúkaný...
Ďakujem za pomoc

Kriss33 · 07. 10. 2012 16:47

Ak to mám totálne zle, prosím, mohli by ste mi ukázať ako riešiť to zjednodušenie
$f(x)=\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\ldots +\cos 100x$

jarrro · 07. 10. 2012 18:15 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 18:16)

je to dobrý postup je založený na tom, že súčet s kosínusmi je reálnou časťou toho geometrického súčtu

$\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}-\mathrm{e}^{100\mathrm{i}x}}{1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}=\frac{\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x}-\cos{$100x$}-\mathrm{i}\sin{$100x$}}{1-\cos{x}-\mathrm{i}\sin{x}}=\nl =\frac{$1-\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x}$$\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x}-\cos{\(100x$}-\mathrm{i}\sin{$100x$}\)}{$1-\cos{x}$^2+\sin^2{x}}=\nl =\frac{\cdots}{2-2\cos{x}}$
už to len vynásobiť, poupravovať čo sa dá a vziať reálnu časť. imaginárna časť potom analogicky zjednoduší podobný súčet so sínusmi

Kriss33

Mohli by ste mi to vysvetliť trošku polopatistickejšie? Stále tomu nerozumiem :(
Teda hlavne ako sme sa dopracovali k tej komplexnej exponenciále a ako to, že tam tú imaginárnu časť netreba?

jarrro · 07. 10. 2012 18:34

↑ Kriss33:lebo $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x}$

Kriss33

To mi je jasné, ale v tom rade je iba kopec kosínov. Mňa zaujíma tá imaginárna časť, resp. i*sinx, ktorá tam nie je...
Pretože v "klasickej" matematike by som spravil e^ix-isinx=cosx, tak je tá neprítomnosť sínu trochu mätúca...

jarrro · 08. 10. 2012 08:26

↑ Kriss33:ten geometrický súčet je len inak zapísané toto:
$\cos{$x$}+\mathrm{i}\sin{$x$}+\cos{$2x$}+\mathrm{i}\sin{$2x$}+\cos{$3x$}+\mathrm{i}\sin{$3x$}+\cdots +\cos{$100x$}+\mathrm{i}\sin{$100x$}=\nl =\cos{$x$}+\cos{$2x$}+\cos{$3x$}+\cdots +\cos{$100x$}+\mathrm{i}$\sin{\(x$}+\sin{$2x$}+\sin{$3x$}+\cdots +\sin{$100x$}\)$

Kriss33

áno, ale tam tie síny nie sú. Kam zmizli, ako to, že to je legitímna operácia.? Lebo nejak sa tam doprracoval k tým sínom, ešte k tomu vydeleným dvoma a netuším ako... Žeby keby sme to celé prepísali ináč, resp. podľa
$\cos x=\frac{\mathrm{e}^{-ix}+\mathrm{e}^{ix}}{2}$

Stýv · 08. 10. 2012 12:04

nepsal ten učitel náhodou něco jako $\sum \cos kx=\Re\left(\sum e^{kx}\right)$ ? nebo to třeba jenom slovně zmínil, že ty kosíny jsou reálnou částí exponenciely

Kriss33

tuším ano, niečo také napísal.
A ten sínus dostal tak, že
$\frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{101ix}}{1-\mathrm{e}^{ix}}\cdot \frac{\mathrm{e}^{-\frac{ix}{2}}}{\mathrm{e}^{-\frac{ix}{2}}}=\frac{\mathrm{e}^{\frac{ix}{2}}-\mathrm{e}^{100,5ix}}{\mathrm{e}^{-\frac{ix}{2}}-\mathrm{e}^{\frac{ix}{2}}}=\frac{\cos \frac{x}{2}+i\sin \frac{x}{2}-\cos 100,5x-i\sin 100,5x}{-2i\sin \frac{x}{2}}$
ale teraz neviem, prečo vyškrtol tie cos?

Stýv · 08. 10. 2012 15:13

↑ Kriss33: vykrátil $i$ a vzal reálnou část

Kriss33 · 08. 10. 2012 15:15

čiže reálna časť sú kosínusy a tou funkciou Re alebo operáciou, či čo to je, sa nám tie kosínusy odstránia?

jarrro · 08. 10. 2012 15:30

↑ Kriss33:čítaš to tu?
jasne je tu napísané ,že $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}=\cos{x}+\mathrm{i}\sin{x}$
čiže z toho hneď vidno, že $\cos{x}=\mathrm{Re}{$\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}$}$
a tiež $\cos{$x$}+\cos{$2x$}+\cos{$3x$}+\cdots +\cos{$100x$}=\mathrm{Re}{$\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}2x}+\mathrm{e}^{\mathrm{i}3x}+\cdots +\mathrm{e}^{\mathrm{i}100x}$}$

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2012 15:18 — Editoval Kriss33 (07. 10. 2012 15:20)

Spočítanie radu gon. fcii

#2 07. 10. 2012 16:47

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#3 07. 10. 2012 18:15 — Editoval jarrro (07. 10. 2012 18:16)

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#4 07. 10. 2012 18:23 — Editoval Kriss33 (07. 10. 2012 18:24)

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#5 07. 10. 2012 18:34

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#6 08. 10. 2012 00:02 — Editoval Kriss33 (08. 10. 2012 00:03)

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#7 08. 10. 2012 08:26

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#8 08. 10. 2012 10:04 — Editoval Kriss33 (08. 10. 2012 10:22)

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#9 08. 10. 2012 12:04

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#10 08. 10. 2012 14:15 — Editoval Kriss33 (08. 10. 2012 14:54)

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#11 08. 10. 2012 15:13

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#12 08. 10. 2012 15:15

Re: Spočítanie radu gon. fcii

#13 08. 10. 2012 15:30

Re: Spočítanie radu gon. fcii

Zápatí