Matematické Fórum

Haly · 07. 10. 2012 18:11

Zdrávím, mám úkol do lineární algebry:

Buď S množina všech konečných posloupností přirozených čísel. Definujme na S relaci $\varrho$ takto: Pro $\alpha =(a_{1},a_{2},...,a_{m})\in S$ a $\beta =(b_{1},b_{2},...,b_{n})\in S$ položíme $\alpha \varrho \beta$ , když a jen když m $\le$ n a existují přirozená čísla $i_{1}<i_{2}<...<i_{m}\le n$ tak, že pro každé k $(1\le k\le m)$ je $a_{k}\le b_{ik}$ . Dokažte, že $\varrho$ je uspořádání na S.

Vím jaké vlastnosti má uspořádání, ale neumím si přesně představit danou situaci. Byl bych rád kdyby někdo pomohl, děkuji.

JohnPeca18 · 07. 10. 2012 19:23

Mohl bys v skratke vypsat ty vlastnosti usporadani? Matne si spominam, ze by to mohla byt reflexivita, antisymetria a tranzitivita. .
Mozno staci pochopit definiciu a z toho to pekne plynie. Mozno skus napisat, v com si sa konkretne zasekol.

Haly · 07. 10. 2012 20:05

no ty vlastnosti jsou reflexivita(∀x∈M) x R x, antisymetrie(∀x,y∈M) x R y ∧ y R x⇒ x=y a tranzitivita(∀x,y,z∈M) x R y ∧ y R z ⇒ x R z. Pochopil jsem, ze pocet prvku mnoziny alfa je roven nebo mensi nez pocet prvku mnoziny beta, ale nevim jakou roli presne tam ma to $k$ a zindexovane $i$

JohnPeca18 · 07. 10. 2012 20:37

No ked porovnavas tie postupnost napr $\alpha$ s n prvkami a $\beta$ s m prvkami. Zistis, ze $m\leq n$ . Nasledne hladas v postupnosti $\alpha$ m prvkov, teda tolko prvkov, kolko je v postupnosti $\beta$ aby si ich mohol porovnat s prvkami z postupnosti $\beta$ . Tie indexovane i znamenaju presne to, ze vyberas prvky z postupnosti $\alpha$ . Hm, mozno nejaky priklad by bol lepsi
$\alpha=(1,5,9,12,45,58,7,90), \beta=(20,50,80), n=8, m=3, m\leq n, 1\leq k\leq 3,$ k bezi cez prvky $\beta$ . Vyberieme indexi z $\alpha$ , tak aby boli vetsie ako prvky z $\beta$ , takze $i_1=5,i_2=6, i_3=8,$ z toho $b_1\leq a_{i_1}, b_2\leq a_{i_2}, b_3\leq a_{i_3}$

No a dolezite je si vsimnut, ze musis vyberat m prvkov, teda ak m=n, tak porovnavas vsetky prvky. A tiez ze tie indexy i musia byt v poradi. No, tak neviem ci to pomohlo ..