Matematické Fórum

sloníča

Zistite koľko je nezáporných celočíselných riešení nasledujúcej sústavy nerovníc:

$X_{1} + X_{2} + X_{3} \le 6$
$X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + X_{5} \le 15$
$X_{i} \ge 0$ pre všetky $1\le i\le 5$

Pozn.: riešila som to, že som prvú dala rovné 6 potom násobila všetkými možnosťami keď sa druhá rovná postupne 9, 8, 7...a potom to isté pre prvá sa rovná 5...atď. Je to vôbec dobre? Nedá sa to riešiť nejako jednoduchšie?

BakyX · 08. 10. 2012 04:08

Najprv určíme všeobecne počet riešení nerovnice

$X_1+X_2+...+X_k \leq N$

v množine $\mathbb{N}_{0}$ .

Je zjavné, že počet riešení tejto nerovnice v danej množine je rovnaký ako počet riešení rovnice

$X_1+X_2+...+X_k+X_{k+1} = N$

v danej množine. Počet riešení tejto rovnice je $n+k \choose n$ .

No a k samotnému príkladu. Ten asi nejde nejako lepšie riešiť ako naznačeným postupom.

Predpokladáme, že $X_1+X_2+X_3=i$ , kde $0 \leq i \leq 6$ . Počet riešení tejto rovnice je $i+2 \choose 2$ .

Ostáva určiť počet riešení druhej nerovnice, ktorá prejde do tvaru $X_4+X_5 \leq 15-i$ . Vzhľadom k dokázanej vete je počet jej riešení $17-i \choose 2$ .

Nakoľko $i$ prebieha množinou $\{0,1,...,6\}$ a výber riešení prvej rovnice rovnice a druhej nerovnice je nezávislí, tak celkový počet riešení sústavy je

$\sum_{i=0}^{6} \binom{i+2}{2} \binom{17-i}{2}$

To zas nie je tak ťažké spočítať (kombinačné čísla s dolným číslom 2 sa počítajú celkom milo).

Ak sa smiem spýtať, to je nejaká domáca úloha ?

sloníča · 08. 10. 2012 05:51

↑ BakyX: dík, takto to mám. Iba som si chcela overiť, či dobre. ;o) a výber je závislý nie? Preto tie dva členy násobím. Či?

majsa · 08. 10. 2012 10:52

Dobrý den, chtěl bych se zeptat ohledně jedný zdánlivě jednoduchý, ale pro mě nepřekonatelný úlohy z kombinatoriky:

Určete, kolika způsoby lze na čtvercové šachovnici se 64 poli vybrat 3 pole tak, aby všechna pole nebyla téže barvy.

Nemůžu prostě přijít na to, jak přijít na ty čísla co mám k sobě poskládat..

Předem dík za odpověď

jelena · 08. 10. 2012 12:25

↑ majsa:

Zdravím, založ si, prosím, vlastní téma. Děkuji.

majsa · 08. 10. 2012 14:15

jelena napsal(a):
↑ majsa:

Zdravím, založ si, prosím, vlastní téma. Děkuji.

Dobře

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2012 21:21 — Editoval sloníča (07. 10. 2012 21:21)

Kombinatorika

#2 08. 10. 2012 04:08

Re: Kombinatorika

#3 08. 10. 2012 05:51

Re: Kombinatorika

#4 08. 10. 2012 10:52

Re: Kombinatorika

#5 08. 10. 2012 12:25

Re: Kombinatorika

#6 08. 10. 2012 14:15

Re: Kombinatorika

jelena napsal(a):

Zápatí