Matematické Fórum

Nosná množina faktorové algebry je množina A/R, tedy rozklad A na třídy podle ekvivalence R. Každá třída je tvořena těmi prvky, které jsou navzájem v relaci R. Jedna třída bude tedy {0,5,-5,10,-10,...}, druhá {1,6,-4,11,-9,16,-14,....}, třetí {2,7,-3,12,-8,...} čtvrtá {3,8,...} a pátá {4,9,...}.

Ikdyž se faktoralgebra značí A/R, k její úplné definici nestačí popsat její nosnou množinu. Je třeba říct, jak jsou na ní definovány operace, které byly na původní algebře A=Z. Pokud na A byla operace f a platilo f(a_1,a_2,...,a_n)=b, pak na A/R definujeme odpovídající operaci předpisem f([a_1],[a_2],...,[a_n])=[b], kde [x] značí třídu obsahující x. Takto definovaná operace je korektní, protože relace R j kongruencí (tj. ekvivalencí, která zachovává všechny funkční symboly).

Takto vzniklá algebra se běžně značí a je stejně jako A okruhem. Faktorizovat relací R bylo to samé, jako odfaktorizovat ideál , proto se občas setkáme i se značením .

↑ Mautinek:Ta první svislá čárka se čte jako "takových, že" a ta druhá jako "dělí", přitom (x,y) je míněno jako uspořádaná dvojice a ne jako největší společný dělitel. Oba předpisy (správně i špatně opsaný) tedy popisují faktoralgebru, o které jsem psal.

Pokud by měla mít faktoralgebra jen jednu třídu, bude touto třídou celé Z (třídy musí být disjunktní a jejich sjednocení celé Z).

I kdyby (x,y) byl NSD, (x,y)|x by nedávalo žádná omezení na x ani y, relace by zůstala stále stejná.

Kdyby v relaci R ležely ty dvojice, kde x|y a 5|x-y, dvojice (5,10) a (4,24) by byly v relaci, ale (10,5) a (24,4) v ní nebyly, nejednalo by se proto o ekvivalenci, tudíž ani o kongruenci a mluvit o rozkladu by nemělo smysl.